Элементы общей топологии (стр. 2 из 9)
Пример 3. Пусть Х = R3. Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусом r, а также всё множество Х и пустое множество.
Очевидно, аксиома 1 выполняется.
Пусть {U(ra)} – любая система открытых множеств. Тогда их объединением будет шар с центром О и радиусом r=
.Если
= ¥, то U(r) = X.Следовательно, аксиома 2 выполняется.
Пересечением двух множеств U(r1) и U(r2) будет множество U(r), где r =
, то есть аксиома 3 также выполняется.Выделенное нами семейство открытых множеств является топологией в R3, которую иногда называют концентрической.
Определение 2. Пусть в множестве Х введены две топологии Ф1 и Ф2. Говорят, что Ф1 сильнее Ф2 (или Ф2 слабее Ф1), если Ф2Ì Ф1, то есть любое множество из Ф2 принадлежит Ф1.
Очевидно, самой сильной топологией является дискретная топология, а самой слабой – тривиальная.
А вообще – две топологии на одном и том же множестве могут быть несравнимыми.
Пример.
Х =
,Ф1 = {Æ, Х,
},Ф2={Æ, Х,
}.Топологии Ф1 и Ф2 несравнимы.
Теорема 1. Пересечение произвольного множества топологий, заданных на Х, является топологией в Х. Эта топология Ф слабее любой из данных топологий Ф
.Доказательство. Пусть
.Так как для любого a
{Х,Æ}Ì Ф
,то
{X,Æ}Ì Ф.
Далее, из того, что каждое Ф
замкнуто относительно взятия любых объединений и конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и множество .Теорема 2. Пусть А – произвольная система подмножеств множества Х. Тогда существует минимальная топология в Х, содержащая А.
Действительно, всегда существуют топологии, содержащие А, например, дискретная. Пересечение всех топологий, содержащих А и есть искомая топология. Эта минимальная топология называется топологией, порождённой системой А.
1.2 Свойства топологических пространств
1.2.1 Понятие подпространства
Если У подмножество Х, а (Х, Ф) – топологическое пространство, то на У можно рассматривать топологию
y = {
Ç У |G Î Ф }.Действительно, обозначим:
S
= Ç У, y = {S }.1.
ÞÆ, У ÎY.2.
S = (G 
Ç У) = ( G )Ç У Îy.3. S
ÇS 
= (G Ç У) Ç (G Ç У) = (G ÇG ) Ç У Îy.(У, y) – называют топологическим подпространством пространства (Х, Ф), а y – топологией, индуцированной топологией Ф.
Пример. Пусть Х = Е3. Открытыми в Х множествами назовем только открытые шары U(r) с общим центром О и радиусами r, а также все множество Х и пустое множество. Известно, что набор открытых множеств задает топологию Фк на Х, то есть (Х, Фк) топологическое пространство.
Рассмотрим плоскость, проходящую через точку О и обозначим ее У. Тогда У – подмножество Х и на У индуцируется следующая топология: открытыми множествами будут У, Æ и открытые круги с общим центром О и радиусами r.
1.2.2 Замкнутые множества. Внутренние, внешние и граничные точки
Определение 1. Подмножество А топологического пространства
(Х, Ф) называется замкнутым, если его дополнение Х \ А открытое множество.
Так как дополнение к дополнению множества А есть снова А, то получаем: множество А открыто в том и только в том случае, когда дополнение к нему замкнуто.
Если (Х, Ф) – антидискретное топологическое пространство, то дополнения к Х и к Æ являются единственными замкнутыми множествами, но учитывая, что
Х / Х = Æ, Х / Æ = Х,
получаем: Æ и Х – являются также и замкнутыми множествами.
Х и Æ замкнуты (и одновременно открыты) в любом топологическом пространстве (Х, Ф).
Если Ф – дискретная топология, то любое множество замкнуто и открыто.
Если Х – множество действительных чисел и Ф обычная топология, то есть индуцированная естественной метрикой, то множество
[
] = {х | £ х £ } = Х \ ((– ¥, ) È ( , + ¥))замкнуто.
Используя формулы де Моргана
Х \ È
= Ç (X \ ),Х \ Ç
= È (X \ ),несложно доказывается следующая теорема.
Теорема 1. (Свойства замкнутых множеств)
1. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть замкнутое множество.
2. Объединение любых двух замкнутых множеств есть замкнутое множество.
Доказательство. Пусть для любого a определено множество
F
= X \ ,где
- открытое множество в (Х, Ф).1. F0 = ÇF
= Ç(X \ ) = X \(È ).Так как È
= G0ÎF, то F0 – замкнуто.2. F = F1È F2 = (X \ G1) È (X \ G2) = X \ (G1Ç G2).
Так как G1ÇG2 = GÎF, то F – замкнуто.
Теорема 2. Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством; объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.
Однако, если в R с обычной топологией рассмотреть множества
Gn=
,то
Gn = [–1, 1],то есть мы указали пример, когда пересечение бесконечного множества открытых множеств оказалось замкнутым.
Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство. Открытое множество U называется окрестностью точки х если х ÎU (х ÎX и UÎ Ф).
Определение 2. Точка называется внутренней точкой некоторого множества H (HÌX), если существует такая окрестность U точки , что UÌH. Множество всех внутренних точек множества H обозначается через intH и называется внутренней областью H или внутренностью H.
Определение 3. Точка
называется внешней точкой множества H, если существует такая окрестность V точки , в которой нет точек из H, т.е. VÌ СхH=Х \ H. Множество всех внешних точек множества H обозначается через extH и называется внешней областью H.