2.1 Использование теоремы Дезарга на евклидовой плоскости
В аксиоматическом построении проективной плоскости мы рассматриваем теорему Дезарга, как аксиому. Покажем, что она справедлива на евклидовой плоскости. Если две одинаковые конфигурации, составленные из точек и прямых, могут быть приведены в соответствие так, что пары соответствующих точек соединяются прямыми, пересекающимися в одной точке, то мы говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой точке. Если соответствие таково, что пара соответствующих прямых пересекаются в точках лежащих на одной прямой, то говорим, что эти две конфигурации перспективны относительно этой прямой.
Сформулируем теорему Дезарга, покажем использование на евклидовой плоскости. При доказательстве будем пользоваться теоремой Менелая.
Теорема Менелая гласит:
Если точки X, Y, Z лежащие на сторонах ВС, СА, АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то (BX/CX)*(CY/AY)*(AZ/BZ)=1.
Обратно, если это уравнение выполняется для точек X, Y, Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.
Теорема Дезарга.
Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны. Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точке R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек. (Q, C’, A’), (R, B’, C’), (P, A’, B’) Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС, ОСВ, ОВА, получим при этом (AQ/CQ)*(CC’/OC’)*(OA’/AA’)=1 (CR/BR)*(BB’/OB’)*(OC’/CC’)=1 (BP/AP)*(AA’/OA’)*(OB’/BB’)=1. Перемножим эти три выражения и проделав умеренное число сокращений, получим (AQ/CQ)*(CR/BR)*(BP/AP)=1 что точки Q, R, P коллинеарные, теорема доказана.
2.2 Примеры решения задач
№1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. AA’∩BB’∩CC’=S?
Решение: Рассмотрим треугольник АВС и треугольник А1В1С1 – дезарговые треугольники, то есть треугольники удовлетворяют теореме Дезарга.
№2. В евклидовой плоскости в четырехугольник вписана трапеция, параллельные стороны которой || его диагонали. Доказать, что непараллельные стороны трапеции пересекаются на другой диагонали.
Решение: треугольники NCK и AMP дезарговые треугольники по прямой теореме Дезарга, соответствующие стороны этих треугольников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой F, D, B, то есть точка пересечения непараллельных сторон трапеции принадлежат диагонали BD.
№3. В евклидовой плоскости противоположные вершины одного параллелограмма расположены соответственно на противоположных сторонах второго. Доказать, что оба параллелограмма имеют общий центр симметрии. Требуется доказать, что LN∩MK∩BD∩AC=S
Решение.
AC∩LN∩BD – треугольники ALD и СNB – дезарговые треугольники удовлетворяют обратной теореме Дезарга AC∩LN∩BD=S. Треугольники DKC и BMA – дезарговые треугольники по обратной теореме Дезарга MK∩BD∩AC=S. Получили AC∩BD∩MK∩LN=S. Оба параллелограмма имеют общий центр симметрии.
№4. В евклидовой плоскости дан треугольник и три параллелограмма, для каждого из которых одна сторона треугольника служит диагональю, а две другие – смежными сторонами. Доказать, что вторые диагонали этих параллелограммов пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что AN∩BP∩CM=S. Решение: Треугольники ABC и NPM – дезарговые треугольники.
AB∩NP=Q (BC∩MP)=R (AC∩NM)=K лежат на одной несобственной прямой P по теореме обратной теореме Дезарга NA∩BP∩CM=S.
№5. В конфигурации Дезарга одну из точек выбрать за дезаргову точку. Найти в этой конфигурации вершины дезарговых треугольников и дезаргову прямую. Точка А – дезаргова точка. Треугольники A’RP и SCB – дезарговы треугольники A’S ∩ SC∩A’R=C’R∩CSB∩A’P=B’ P∩BCB∩RP=Q. Точки C’, B’, Q’S– дезаргова прямая.
№6. Прямая p лежит в плоскости треугольника АВС; К=ВС (p, L=AC (p, M=AB (p,
R=BL (CM, S=CM (AK, T=AK (BL. Доказать, что прямые AR, BS и CT пересекаются в одной точке. Требуется доказать, что AR∩BS∩CT=Q
Решение
Треугольники АВС и RST – дезарговы треугольники. RS∩AB=M TS∩BC=K точки M, K, L (по условию) TR∩AC=L. Таким образом, по теореме обратной теореме Дезарга AR∩BS∩CT=Q.
№7. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке S, которая лежит за пределами чертежа. Дана точка С не лежащая ни на одной из данных прямых. Построить прямую SC. Построение. Выбираем произвольно прямую s, точка A, A’ и В 1) AB (s=P, 2) PA’ (b=B’, 3) AC (s=R, 4) BC (s=Q, 5) A’R, B’Q, 6) B’Q (A’R=C’, 7) CC’ искомая прямая.
Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’ – дезарговы треугольники, прямая s – дезаргова прямая. AB (A’B’=P
AC (A’C’=R (s (по построению) BC (B’C’=Q По обратной теореме Дезарга AA’ (CC’ (BB’=S.
№8. Даны две точки P и Q и не проходящая через них прямая c. Построить PQ C, не проводя PQ.
Доказательство:
Треугольники QQ1Q2 и PP1P2 – дезарговы. QQ2 (PP2=Z QQ1 (PP1=X S (по построению). Q1Q2 (P1P2=Y.
По обратной теореме Дезарга. PQ (P1Q1 (P2Q2=S (PQ (c=S искомая точка.
№9. На евклидовой плоскости даны две параллельные прямые a||b и точка С, им не принадлежащая. Через () С провести прямую, параллельную а и b.
1) Анализ: Произвольно выбираем прямую s. () А, А’ (а, () В (b. Здесь работает обратная теорема Дезарга для случая () S (– несобственная, прямая s – собственная. Треугольники АВС и А’В’С’ – построить.
2) Построение:
1) АВ (s=P
2) A’P (b=B’
3) AC (s=R
4) BC (s=Q
5) A’R, B’Q
6) A’R (B’Q=C’
7) CC’ – искомая прямая.
3) Доказательство:
Треугольники АВС и А’В’С’ – дезарговы. Формулировка обратной теоремы Дезарга.
Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников АВС и
А’В’С’ пересекаются в точках лежащих на одной прямой и АА’||BB’, то СС’||AA’.
По этой теореме СС’ – искомая прямая.
№10. Трапеция ABCD пересечена прямыми p и q, параллельными основанию АВ, p (AD=M, p (AC=P, q (BD=N, q (BC=Q. Доказать, что точка MN (PQ лежит на прямой АВ. Требуется доказать, что MN (PQ(AB=K.
Решение:
Рассмотрим треугольники МРА и NQB. МР (NQ=S (, таккак p||q. (p (q=S() PA (BQ=C AM (BN=D
DC||p||q (DC (p(q=S((C, D, S((одной прямой по теореме обратной теореме Дезарга MN (PQ(AB=K.
Тем самым доказали, что точка МN (PQ(AB.
№11. В евклидовой плоскости даны параллелограмм АВСD, точка РCD и прямая пересекающая стороны АВ и АD. Провести прямую || l. 1) Анализ: Треугольник ANM построен. Построить треугольник СРК. Задача решается с помощью прямой теоремы Дезарга.
2) Построение:
1) NP, AC
2) NP (AC=S
3) MS (BC=K
4) KP- искомая прямая.
3) Доказательство:
треугольники ANM и CPK – дезарговы, так как AN (CP=R((AN||CP), CK (AM=Q((CK||AM) то по теореме Дезарга KP (NM=F((KP||NM.
Заключение
Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 2 глав, заключение и библиографический список.
Во введении обоснована актуальность выбора темы, поставлены цель и задачи исследования. Глава первая раскрывает общие вопросы, раскрываются исторические аспекты проблемы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач». Определяются основные понятия, обуславливается актуальность звучание вопросов «Теорема Дезарга и её применение к решению задач».
В главе второй более подробно рассмотрены содержание и современные проблемы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач».
По результатам исследования был вскрыт ряд проблем, имеющих отношение к рассматриваемой теме, и сделаны выводы о необходимости дальнейшего изучения / улучшения состояния вопроса.
Таким образом, актуальность данной проблемы определила выбор темы работы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач», круг вопросов и логическую схему ее построения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т., Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1987. – 352 с.
2. Базылев, Геометрия» – М.: Просвещение, 1975
3. Вахмянина О.А., Измайлова Т.С. «Пособие по проективной геометрии» – Оренбург: ОГПИ, 1994.
4. Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2-е изд., – М., 1966.
5. Глаголев Н.А., Проективная геометрия: Учеб. пособие для студентов университетов, 2-е изд. – М.: Высшая школа, 1963. -344 с.
6. Ефимов «Высшая геометрия» – :Наука, 1971
7. Измайлова Т.С. Лекционный курс по проективной геометрии – Оренбург: ОГПИ, 1995.
8. Каган В.Ф., Очерки по геометрии, М.: Издательство Московского Университета, 1963. – 572 с.
9. Коксетер С.М. Новые встречи с геометрией – М.: Наука, 1978, с ил.
10. Комиссарук А.М. Проективная геометрия в задачах: Учеб. пособие для математических факультетов педагогических институтов – Минск: Высшейшая школа, 1971, 320 с.:ил.
11. Певзнер, Проективная геометрия: учеб. пособие – М.: Просвещение, 1980
12. Потоцкий Что изучает проективная геометрия – М: Просвещение, 1982
13. Хартсхорн Р., Основы проективной геометрии: Учеб. пособие для студентов университетов. – М.: Мир, 1970