Обусловленность матрицы (стр. 2 из 3)
Отсюда видим, что
Строим гистограмму элементов вектора относительных погрешностейd. (см. файл «Вектор и гистограмма»)
По гистограмме видно, что наибольшее влияние на погрешность решения оказывает компонента
вектора 
.Найдем число обусловленности
матрицы AЧисло обусловленности матрицы A вычисляется по формуле
Норма матрицы A:
=57,3638Норма обратной матрицы
: 
=129841,19
7448184,055Теоретическая оценка погрешности
Так как
то матрица плохо обусловлена, это значит, что незначительные изменения в правой части приведут к большой погрешности в решении.Задача 2 Метод хорд
Методом хорд найти корень уравнения
с точностью 
.Решение
Найдем интервал, в котором находится корень:
Корнем уравнения является точка пересечения этих функций
Из графика видно, что корень лежит в интервале
.Найдем неподвижный конец:
Для определения используем horda.xls(см. приложение)
| y(a) | -0,5 | y(b) | 0,493147 | непод |
| y'(a) | 1,5 | y'(b) | 0,66 | 1 |
| y''(a) | -1,75 | y''(b) | -0,426 |
Неподвижный конец -1
Выполняем приближение, используя horda.xls
| Х | х0 | |
| 1 | 2 | |
| xi | F(xi) | sigma |
| 1,50345005 | 0,1010481 | else |
| 1,41881012 | 0,0179259 | else |
| 1,40431471 | 0,0030870 | else |
| 1,40183381 | 0,0005288 | else |
| 1,40140927 | 0,0000905 | else |
| 1,40133662 | 0,0000155 | else |
| 1,40132419 | 0,0000027 | and |
Окончание процесса – при
,это и есть наш корень.Задача 3 Решение СЛАУ
Решить систему уравнений ax=b, где
Вычислить точностные оценки методов по координатам:
, 
- координаты численного решения, 
- координаты точного решения. 
1. Метод простых итераций
Сделаем расчет, используя SLAU.xls
| х1 | 0,7500 | -0,7500 | -0,3333 | -0,4375 | -0,7708 | 0,7500 | |
| х2 | 1,0000 | -0,3750 | -0,4444 | -0,5833 | -0,4028 | 1,0000 | 1 |
| х3 | 0,6667 | -0,2500 | -0,6667 | -0,8750 | -1,1250 | 0,6667 | |
| х4 | 1,7500 | -0,1875 | -0,5000 | -0,5000 | 0,5625 | 1,7500 |
| х1 | 0,7500 | 0,3021 | 0,5625 | -0,1406 | 1,4740 | -0,7708 | |
| х2 | 1,0000 | 0,3854 | 0,7500 | -0,1875 | 1,9479 | -0,4028 | 2 |
| х3 | 0,6667 | 0,2569 | 0,2685 | -0,2813 | 0,9109 | -1,1250 | |
| х4 | 1,7500 | 0,1927 | 0,2014 | 0,8438 | 2,9879 | 0,5625 |
| х1 | 0,7500 | -1,4609 | -0,4555 | -0,7470 | -1,9134 | 1,4740 | |
| х2 | 1,0000 | -0,7370 | -0,6073 | -0,9960 | -1,3402 | 1,9479 | 3 |
| х3 | 0,6667 | -0,4913 | -1,2986 | -1,4940 | -2,6172 | 0,9109 | |
| х4 | 1,7500 | -0,3685 | -0,9740 | -0,6832 | -0,2756 | 2,9879 |
| х1 | 0,7500 | 1,0052 | 1,3086 | 0,0689 | 3,1327 | -1,9134 | |
| х2 | 1,0000 | 0,9567 | 1,7448 | 0,0919 | 3,7934 | -1,3402 | 4 |
| х3 | 0,6667 | 0,6378 | 0,8935 | 0,1378 | 2,3357 | -2,6172 | |
| х4 | 1,7500 | 0,4784 | 0,6701 | 1,9629 | 4,8614 | -0,2756 |
Решение, наиболее близкое к точному, получено из таблицы 3
Х1=1,4740
Х2=1,9479
Х3=0,9109
Х4=2,9879
Найдём
: | xi | xi* | |xi-xi*| |
| 0 | 1,474 | 1,474 |
| 1 | 1,9479 | 0,9479 |
| -1 | 0,9109 | 1,9109 |
| 2 | 2,9879 | 0,9879 |
| max | 1,9109 |
(МПИ)=1,91092. Метод Зейделя
Сделаем расчет, используя SLAU.xls
| х1 | 0,7500 | 0,0000 | 0,0000 | 0,0000 | 0,7500 | 0,0000 | |
| х2 | 1,0000 | -0,3750 | 0,0000 | 0,0000 | 0,6250 | 0,0000 | 1 |
| х3 | 0,6667 | -0,2500 | 0,0000 | 0,0000 | 0,4167 | 0,0000 | |
| х4 | 1,7500 | -0,1875 | -0,3125 | -0,3125 | 0,9375 | 0,0000 |
| х1 | 0,7500 | -0,4688 | -0,2084 | -0,2344 | -0,1615 | 0,7500 | |
| х2 | 1,0000 | 0,0807 | -0,2778 | -0,3125 | 0,4904 | 0,6250 | 2 |
| х3 | 0,6667 | 0,0538 | -0,4167 | -0,4688 | -0,1649 | 0,4167 | |
| х4 | 1,7500 | 0,0404 | -0,2452 | 0,1237 | 1,6688 | 0,9375 |
| х1 | 0,7500 | -0,7499 | 0,5000 | -0,5000 | 0,0000 | 0,0000 | |
| х2 | 1,0000 | 0,0000 | 0,6666 | -0,6667 | 0,9999 | 0,9999 | 30 |
| х3 | 0,6667 | 0,0000 | -0,6666 | -1,0000 | -0,9999 | -0,9999 | |
| х4 | 1,7500 | 0,0000 | -0,5000 | 0,7500 | 2,0000 | 2,0000 |
Решение, наиболее близкое к точному, получено на 30 шаге вычислений
Х1=0
Х2=0,9999
Х3=0,9999
Х4=2
Найдём
: | xi | xi* | |xi-xi*| |
| 0 | 0,0000 | 0,0000 |
| 1 | 0,9999 | -0,0001 |
| -1 | -0,9999 | 0,0001 |
| 2 | 2,0000 | 0,0000 |
| max | 0,0001 |
=0,0001Вывод: МПИ - быстрее сходится, но обладает меньшей точностью, чем метод Зейделя, который дольше сходится.
Задача 4 Сплайн интерполяция
| Х | У |
| -2,00 | -3,00 |
| 0,00 | 2,00 |
| 1,00 | 0,00 |
| 3,00 | 2,00 |
| 4,00 | 1,00 |
| 5,00 | 0,00 |
Для вычислений используем splain.xls
Найдем
: | hi=xi - xi-1 | |
| h0 | 2,00 |
| h1 | 1,00 |
| h2 | 2,00 |
| h3 | 1,00 |
| h4 | 1,00 |
Для вычисления q будем использовать метод прогонки.
Вычислим массивы коэффициентов a,b,c и правой части d:
| a | b | c | d | |
| 0 | 0,0000 | 1,0000 | 0,1667 | -4,50 |
| 1 | 0,1667 | 1,0000 | 0,3333 | 3,00 |
| 2 | 0,3333 | 1,0000 | 0,1667 | -2,00 |
| 3 | 0,1667 | 0,6667 | 0,0000 | 0,00 |
Вычисление прогоночных коэффициентов:
| A[ ] | B[ ] |
| 0,00 | 0,00 |
| -0,16667 | -4,5 |
| -0,34286 | 3,857143 |
| -0,18817 | -3,70968 |
| 0 | 0,973202 |
Теперь вычисляем
| x | y |
| -2 | -3 |
| -1,9 | -2,62093 |
| -1,8 | -2,24381 |
| -1,7 | -1,87056 |
| -1,6 | -1,50314 |
| -1,5 | -1,14348 |
| -1,4 | -0,79353 |
| -1,3 | -0,45522 |
| -1,2 | -0,13049 |
| -1,1 | 0,178702 |
| -1 | 0,47043 |
| -0,9 | 0,74275 |
| -0,8 | 0,99372 |
| -0,7 | 1,221401 |
| -0,6 | 1,423849 |
| -0,5 | 1,599126 |
| -0,4 | 1,74529 |
| -0,3 | 1,860401 |
| -0,2 | 1,942516 |
| -0,1 | 1,989696 |
| 0 | 2 |
| 0,1 | 1,852492 |
| 0,2 | 1,673571 |
| 0,3 | 1,470644 |
| 0,4 | 1,251116 |
| 0,5 | 1,02239 |
| 0,6 | 0,791874 |
| 0,7 | 0,566972 |
| 0,8 | 0,355088 |
| 0,9 | 0,163629 |
| 1 | 0 |
| 1,1 | 0,005772 |
| 1,2 | 0,043163 |
| 1,3 | 0,108555 |
| 1,4 | 0,198332 |
| 1,5 | 0,308877 |
| 1,6 | 0,436575 |
| 1,7 | 0,577807 |
| 1,8 | 0,728958 |
| 1,9 | 0,886412 |
| 2 | 1,046551 |
| 2,1 | 1,205759 |
| 2,2 | 1,360419 |
| 2,3 | 1,506916 |
| 2,4 | 1,641631 |
| 2,5 | 1,760949 |
| 2,6 | 1,861253 |
| 2,7 | 1,938927 |
| 2,8 | 1,990354 |
| 2,9 | 2,011917 |
| 3 | 2 |
| 3,1 | 1,989668 |
| 3,2 | 1,946922 |
| 3,3 | 1,876445 |
| 3,4 | 1,78292 |
| 3,5 | 1,67103 |
| 3,6 | 1,545457 |
| 3,7 | 1,410885 |
| 3,8 | 1,271996 |
| 3,9 | 1,133473 |
| 4 | 1 |
| 4,1 | 0,872264 |
| 4,2 | 0,753286 |
| 4,3 | 0,642094 |
| 4,4 | 0,537715 |
| 4,5 | 0,439175 |
| 4,6 | 0,345501 |
| 4,7 | 0,255719 |
| 4,8 | 0,168858 |
| 4,9 | 0,083942 |
| 5 | 0 |
