Теорема Силова (стр. 1 из 10)
Оглавление
Введение
Глава I. Дополнительные сведения
1.1 Вспомогательные понятия и утверждения
1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа
1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов
1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы
1.5 Теоремы о гомоморфизмах
Глава II. Теорема Силова
2.1 Первая теорема Силова
2.2 Вторая и третья теорема Силова
2.3 Описание групп порядка pq
2.4 Примеры силовских подгрупп
Заключение
Список литературы
Введение
В наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, то есть о проникновении идей и методов алгебры, как в теоретические, так и в прикладные разделы всей математики.
В соответствии с принципом “важны не математические объекты, а отношения между ними” алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих факторов из “высшей арифметики” – теории чисел. теорема силов лагранж
Одной из основных типов алгебраических систем является группа. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях. Понятие группы явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже XIX-XX веков, в результате которой понятие математической системы стало основным в математике.
В ряду алгебраических дисциплин составляющих совокупности, то, что иногда называют общей алгеброй, теория групп занимает, бесспорно, первое место как наиболее развита из этих дисциплин. Кроме того, теория групп представляется как область алгебры близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий.
Старейшей и интенсивно развивающей ветвью теории групп, является теория конечных групп. Теорема Силова является краеугольным камнем в теории конечных групп.
Целью данной дипломной работы является изучение силовских р-подгрупп конечной группы и их свойств.
Цель обусловила постановку и решение следующих задач.
1.Изучить основные понятия теории групп.
2.Рассмотреть теорему Силова и проанализировать различные способы доказательства.
3.Представить данную тему в развернутой форме, которая в последствии может быть использована при чтении спецкурсов по теории групп.
Поставленные задачи определили структуру дипломной работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
В первой главе собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в работе, что позволило сделать изложение более доступным и замкнутым.
Во второй главе дается определение р-подгруппы, доказываются теоремы Силова, дается описание групп порядка pq и, кроме того, приводиться примеры силовских р-подгрупп.
Глава I. Дополнительные сведения
1.1 Вспомогательные понятия и утверждения
Непустое множество Gс заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группой, если выполнено следующие условия:
1) замкнутость – для любого a,bÎGэлемент a*bÎG;
2) ассоциативность – для любых a,b,cÎG справедливо равенство (a*b)*c=a* (b*c) ;
3) существование нейтрального элемента – для любого aÎGсуществует элемент eÎGтакой, чтоa*e = e*a=a;
4) существование обратного элемента – для любого
существует элемент a-1ÎGтакой, чтоa*a-1=a-1*a=e.Подмножество Hгруппы Gназывается подгруппой, если относительно операции определенной во всей группы подмножество само является группой.
Предложение 1.1.1.Если подмножество H элементов группы Gсодержит вместе с двумя элементами a, bих произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a-1, то H есть подгруппа G.
Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa-1 при aÎH и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ■
Группа <G , *> называется циклической, если она состоит из всех целых степеней одного элемента aÎG, то есть G={an|nÎℤ} и обозначается G=<a> – циклическая группа, порожденная элементом a .
Теорема 1.1.2.Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической группой.
Доказательство. Действительно, если подгруппа H группы G=<g> содержит только нулевую степень элемента g, то в H имеется только один элемент – единица eгруппы G (поскольку g0=e). В этом случае, очевидно, H=<e>.
Если же в подгруппе H содержится какая-нибудь ненулевая степень элемента g, то в ней содержится и некоторая положительная степень g, так как вместе со всяким элементом gk в подгруппу H входит и обратный ему элемент g–k. Пусть n – наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H, и h=gn. Покажем, что H=<h>, то есть, что H исчерпывается различными степенями элемента h:
…, h-2, h-1, h0=e, h1, h2,….
Допустим противное, получим, что в H содержится элемент gs и sне делиться на n. Но тогда s можно представить в виде nq+r, где 0<r<n, откуда gs=(gn)qgr=hqgr. Значит, и элемент h–q(hqgr)=gr содержится в H, а это противоречит тому, что n– наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H. ■
Из этого рассуждения следует, в частности, что любая подгруппа аддитивной группы ℤцелых чисел является либо единичной подгруппой H={0}, состоящей из единственного элемента 0, либо подгруппой Hn, состоящей из чисел, кратных некоторому целому числу n≥1:
…,-2n, -n, 0, n, 2n, ….
Напомним, что две группы G и G' с операциями * и · называется изоморфными, и обозначаются G@G', если существует отображение f:G®G' такое, что:
1. f(a*b)=f(a)·f(b) для любых a, bÎG– отображение f сохраняет выполнимость операций в G и G', то есть отображение f –гомоморфно.
2. f – взаимнооднозначно.
Теорема 1.1.3.1) Любая бесконечно циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ℤ.
2) Любая конечно циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n.
Доказательство. 1) Определим отображение φ: G →ℤ, где φ(an)= n, тогда:
a) Так как все целочисленные степени элемента a различны, то отображение φ(an)=n является биективным или взаимнооднозначным.
b) Сохраняются операции во множествах: φ(anak) = n+k = φ(an)+φ(ak).
Таким образом, 1) доказано.
2) G={e, a1,…,an–1} – циклическая группа. Определим отображение φ таким образом: G →ℤn, где φ(ak)= 
для любого ak из группы G, где kпринимает значения от 0 до n-1.
a) Тогда двум равным элементам из группы G соответствуют два равных элемента из ℤn: из того, что am= akÛam-k= eÛm-k: n, по определению, m=k(modn) Û
b) Сохраняется выполнимость операций в группах:
(akam)=(ak+m)= = 
= 
= φ(am)+φ(ak). ■Теорема 1.1.4.Пересечение любого множества подгрупп есть подгруппа.
Доказательство.Пусть A и B– подгруппы группы <G,*>. Докажем, что H=A 
B– подгруппа.
1) Замкнутость H относительно умножения.
a,bÎHÞ 
2)
3) aÎH=A 
■