Теорема Силова (стр. 9 из 10)

, , . (2)

Достаточно положить

, где показатели определяются условиями

, .

Предположим теперь, что х допускает другую запись в виде произведения

– элементов , то есть справедливо равенство .

Домножим обе части равенства справа на

, получим

В силу перестановочности

и будем иметь

как было показано выше, влечет равенства

, то есть

Таким образом, каждый элемент группы G записывается и притом единственным образом в виде (2), то есть смотри 4 п. 2

■

2.3 Описание групп порядка pq

Теорема Силова часто дает весьма существенную информацию о данной конечной группе, а группы не очень большие позволяет описать полностью.

Пусть

, p и qпростые числа.

1. Рассмотрим первый случай, когда p=q, то есть порядок

. Тогда по теореме 1.4.4. G– абелева.

2. Пусть pи q по-прежнему простые числа, но

p<q.

Тогда в группе G по первой теореме Силова существует силовские подгруппы порядка p и q, которые по следствию 2. теоремы Лагранжа будут являться циклическими.

Пусть

– силовские p- и q- подгруппы соответственно. По третьей теореме Силова число силовских q- подгрупп в G равно

и делит pq. Откуда следует, что и подгруппа – единственна. В силу теоремы 2.2.3. (i): . Аналогично число силовских p-подгрупп равно и делит pq. Здесь возможно два случая: и .

а) Силовская

– единственна, тогда она нормальна в G. Применяя туже теорему 2.2.3., но уже пункт (ii), получаем, что . По теореме 1.1.3. , следовательно, таким образом, в этом случае . ■

в) 1+kp=q, то есть имеется q силовских p-подгрупп. Из условия 1+kp=q следует

или . В силу второй теоремы силова подгруппы и сопряжены. Пусть

(1)

Если r=1, то

или ba=ab. Из последнего равенства следует, что и значит, как и выше . Пусть и r>1 тогда выясним, какое может быть r удовлетворяющее равенству (1). Из равенства (1) индукцией по x получаем , откуда

, (2)

для всех целых x, y.

При x=p, y=1 из равенства (2) будем иметь вид

так как , то получаем или . Известно, что если элемент х группы G имеет порядок n, то тогда и только тогда когда . Следовательно, , то есть или .

Кроме того, из равенства (2) можно получить более общую формулу умножения. Домножим равенство (2) слева на а^х:

далее полученное равенство домножаем слева a^z: из полученного равенства умножаем, справа на элемент b^t получаем

(3)

Обратно покажем, что если

, и r не сравнимо с 1 по (modq) то формула (3) определяет неабелеву группу порядка pq.

Таким образом с помощью теоремы Силова мы описали все возможные типы групп порядка pq, при условии, что p<q их оказалось два – абелев и неабелев, причем второй существует только при условии .

2.4 Примеры силовских подгрупп

Пример 1. Если порядок n аддитивной группы кольца вычетов ℤ_n имеет каноническое разложение

, то, как в 3 ℤ_n разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами , то есть

.

Пример 2. Рассмотрим обще линейную группу над конечными полями GF(q) из q элементов. Напомним, что общей линейной группой GL_n(q) называется группа всех обратимых матриц порядка n над полем GF(q). Унитриугольную подгруппу UT_n(q) группы GL_n(q) составляют все матрицы с нижним нулевым углом и единицами на главной диагонали.

Пусть– простое число, m, n– целые числа

и . Покажем, что UT_n(q) – силовская р-подгруппа группы GL_n(q). Для этого подсчитаем порядки этих групп.

Выясним, какие последовательности из n элементов поля GF(q)могут быть первой строкой невырожденной матрицы. Очевидно, любые кроме нулевой,

то есть всего таких последовательностей qⁿ–1 штук. Если первая строка выбрана, то в качестве второй строки можно

взять любую не пропорциональную первой. Таких строк qⁿ–q. Если две первые строки уже выбраны, то в качестве третьей можно взять любую строку, не зависящую линейно от первых двух, это даст qⁿ-q² возможностей и так далее. Значит

,

так как условные элементы матрицы из UT_n(q)пробегают независимо друг от друга все поле, а всего условных мест С²_n, то

. Преобразуем выражение