Если подгруппа SÎΔi, то

Δ

,

.
Следовательно,
Δ
. Отсюда так какНОД(

Δ

, то существует
i такое что

и Δ
i={
S}. Таким образом,
Sq=S и, значит,

. Тогда по предложению 1.5.5.

подгруппа группы
G,

. Применяя теорему 1.5.6 (об изоморфизме) получаем:

. Откуда получаем

. Следовательно, по теореме Лагранжа порядок
G делиться

, но
t– максимальная степень числа
p, поэтому
α=0 и

. Отсюда следует

и значит
Q=S (так как

). И так

Δ, что и требовалось доказать.
Теорема 2.2.2. (третья теорема Силова)
(Количество) Количество силовских p-подгрупп группы G сравнимо с 1 по модулю p и делит порядок G.
Доказательство.Пусть P– силовская p-подгруппа, Δ – класс всех подгрупп сопряженных с p элементами из G.
По теореме 2.2.1. (вторая теорема Силова) Δ совпадает с множеством всех силовских p-подгрупп так как

Δ

, по теореме Лагранжа

Δ

, то есть порядок
G делиться на порядок Δ.
Разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из P:Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔs, если подгруппа RÎΔ, то |Δ|=

и, следовательно, |Δ
i|=

,

. Если

Δ
i={
R} и

. В силу предложения 1.5.5. получаем что
RP=PRподгруппы группы
G и

.
Далее по теореме 1.5.6. (об изоморфизме) получаем

, следовательно,

так как
t – максимальная степень числа
p, то
n=0, отсюда следует

. Противоречие с тем что

, поэтому

и, следовательно, имеем:
|Δ|=

, таким образом, порядок |Δ |=1 (mod
p). Теорема доказана. ■
Теорема 2.2.3. Справедливо следующее утверждение:
i) Силовская р-подгруппа Р группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда она единственна.
ii) Конечная группа G порядка

является прямым произведением своих силовских

-подгрупп

в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в
G.
Доказательство:(i) Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка

, по второй теореме Силова сопряжены. Условие единственности
Р означает, что

для любого элемента

то есть

.
(ii) Докажем вначале
Необходимость. Пусть

, где

– силовские подгруппы группы
G. Тогда в силу теоремы 1.4.5

нормальна в
G как любой прямой множитель.
Достаточность. Пусть теперь

нормальна в
Gи

, то есть каждая силовская подгруппа

единственна в
G. Заметим, во первых, что если

,

,

и, следовательно,
x=e. Стало быть,

отсюда для любых

,

учитывая, что

.

. С другой стороны, так как

, то

, отсюда следует,

то есть элементы

и

перестановочны.
Пусть единичный элемент

записан в виде

, где

– элемент порядка

. Обозначив

и воспользовавшись перестановочностью

, получим

(1)
Учитывая, что

– это порядок элемента

. Из последнего равенства (1) получаем

, так как

и

взаимно просто, то

. Это верно при любом
j, и, значит равенство

возможно лишь при

.
С другой стороны каждый элемент

порядка

,

записывается в виде,