По теореме 1.4.1. получаем, что если

,то мощность класса сопряженных с
g элементов:

,
учитывая что

– взаимно просто с
p по теореме Лагранжа получаем, что

делиться на
рα по индукционному предложению так как порядок
NG(g) меньше порядка
G, то в
NG(g) содержится подгруппа порядка p
α. Вместе с (ii) доказано и а).
b) Пусть

и порядок

. Обозначим Δ– класс подгрупп сопряженных с
P элементами из группы
G. Рассмотрим два случая.
(i) Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД(
Δ
,
P
)=1 по теореме 1.4.1. 
Δ

=

в силу теоремы Лагранжа, получаем:

и,

следовательно,

Δ

отсюда следует, так как порядок G делится на

,

и НОД
( 
Δ
,
)=1, то

поэтому по пункту а): существует подгруппа

группы

,

. Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы

подгруппа H имеет
pα-1·p=pαи

.
(ii)
(iii) Порядок Δ делиться на p.
Пусть Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔm,Δ– это разбиение на подклассы подгрупп сопряженных с P. Если порядок Δ=m+1, то
Δ=

,
Δ=

(Обозначим Δ1 – подклассы подгрупп сопряженных с P1, Δ2– подклассы подгрупп сопряженных с P2 и т. д.). Тогда если QiÎΔi, то

Δ

=

– по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа

, то

Δ
i
=pα, где
0≤α≤α-1.
Откуда

Δ

=

и по условию порядок Δ делиться на
p. Следовательно, должно существовать
i– такое, что
αi=0 и

Δ
i
=1, значит, в подклассе Δ
i лежит только одна подгруппа. Пусть Δ
i={
Q}
, тогда для любого
pÎP:
p–1Pp=Q то есть
P нормализует
Q и

. Далее применяя предложение 1.5.5 получаем, что
PQ подгруппа группы
G, причем

. Применяя теорему 1.5.6. (об изоморфизме) имеем

. Отсюда по теореме Лагранжа следует

. Учитывая, что
Q сопряжено с
P получаем:

, где
β >0 (так как если
β=0, то

и, следовательно

, что неверно).
Сейчас применим к подгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Qg=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являться подгруппа.

,
причем P будет являться нормальной подгруппой группы P’P. Рассмотрим фактор группу P'P/P,

,

>0. Следовательно,
P'P/P существует, по пункту а) подгруппа

порядка
p. Тогда полный прообраз подгруппы

подгруппа
H и будет являться искомой подгруппой порядка

. Пункт b) теоремы доказан полностью. ■
2.2 Вторая и третья теорема Силова
Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка pt где pt– максимальная степень p делящий порядок группы.
Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)
(Сопряженность) Все силовские p– подгруппы группы G сопряжены.
Доказательство.Пусть P– силовская подгруппа, если

, где НОД
(p,m)=1
, то
. Пусть, Δ как и раньше класс подгрупп, сопряженных с
P элементами из
G. Покажем, что если
Q симметрическая
p– подгруппа, то
QÎΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем

Δ

=

.
По теореме Лагранжа, получаем

Δ

Δ

Δ

, НОД
( 
Δ
,p), откуда

Δ

и, следовательно, разобьем Δ на подклассы подгрупп сопряженных между собой элементами из
Q: Δ
=Δ
1È∆
2…È∆
k