Теорема Силова (стр. 4 из 10)

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

Если левостороннее разложение группы G по подгруппе Hсовпадает с правосторонним, то H называют нормальной подгруппой группы G (нормальный делитель, инвариантная подгруппа) и обозначается

. Для любого элемента gÎGбудет выполняться равенство

Hg=gH, (1)

то есть подгруппа H будет перестановочна с каждым элементом группы G.

Пусть H– нормальная подгруппа G. Определим умножение смежных классов формулой:

aH·bH=abH (2)

Ясно, что условие (1) равносильно условию g^–1Hg=H.

Говорят, что элемент, а сопряжен с элементом b посредствам элемента g, если

. Часто используют степенные обозначения .

Теорема 1.3.1.Множество всех смежных классов группы G по нормальной подгруппе H относительно умножения (2) является группой, которая называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H.

Доказательство. 1) Ассоциативность умножения классов вытекает из ассоциативности умножение элементов группы. Пусть g₁, g₂, g₃ÎG, тогда

(g₁H×g₂H)·g₃H= (g₁g₂)H·g₃H=g₁g₂g₃H=g₁(g₂g₃)H= =g₁H(g₂g₃)H= g₁H·(g₂H·g₃H).

2)Единицей в G/H будет смежный класс eH=H, так как HaH=eH·aH=eaH=aH. Аналогично aH·H=aH.

3)(aH)^–1=a^–1H, таккакaH·a^–1H=(aa^–1)H=eH=H. ■

Покажем, что отношение сопряжения на множестве является отношениями эквивалентности. Очевидно, что всякий элемент a сопряжен с самим собой, так как a=e^–1ae.

Кроме того, если элемент G сопряжен с элементом a, то есть b=g^–1ag, тоa=gbg^–1. Следовательно, отношение сопряженности симметрично. Наконец, если b=g₁^–1ag₁, c=g₂^–1bg₂, то c=(g₁g₂)^–1a(g₁g₂), то есть отношение сопряженности элементов транзитивно. Отсюда следует, что всякая группа G распадается на непересекающиеся множества сопряженных между собой элементов или, как говорят, на классы сопряженных элементов. ■

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

п.1. В отличие от смежных классов. Классы сопряженных элементов не все равномощны. При вычисление их мощностей решающую роль играет понятие нормализатора.

Пусть M – подмножество, H–подгруппа группы G.Нормализатором множества M в подгруппе Hназывается множество:

N_H(M)=

,

которое, как легко проверить, является подгруппой в H. Если не указано, в какой подгруппе H берется нормализатор, то это означает, что он берется во всей группе G. Очевидно, подгруппа тогда и только тогда нормальна в группе, когда её нормализатор совпадает со всей группой.

Теорема 1.4.1. Если M– подмножество, H– подгруппа группы G, то мощность класса подмножеств, сопряженных с M элементами из H, равна индексу

В частности,

.

Доказательство. Отобразим множества M^x, xÎH, на правые смежные классы группы H по подгруппе N=N_H(M), полагая

(M^x)^φ=Nxдля xÎH.

Отображение φ однозначно, так как из M^x=M^y следует Nx=Ny. Отображение φ переводит разные элементы в разные , так как из Nx=Ny следует M^x=M^y. Наконец, φ – отображение на, так как каждое Nx имеет прообраз M^x. ■

Пусть M– подмножество, H– подгруппа группы G. Мы назвали нормализатором M в H совокупность тех элементов из H, которые перестановочны с множеством M в целом. Можно рассмотреть также множество тех элементов из H, которые перестановочны с M поэлементно, то есть

C_H(M)=

.

Это множество называется централизатором множества M в подгруппе H. Если M состоит из одного элемента, то, конечно, его нормализатор и централизатор в Hсовпадают. Если не указано, в какой подгруппе H берется централизатор, то это означает, что он берется во всей группе G.

Централизатор всей группы G называется её центром и обозначается Z(G),

Z(G)=

.

Очевидно, что группа тогда и только тогда абелева, если она совпадает со своим центром. Ясно, что единица е всегда лежит в центре. Если других центральных элементов группа не содержит, то она называется группа с тривиальным центром. Заметим ещё, что любая подгруппа центра нормальна в группе.

Теорема 1.4.2.Пусть

, где p– простое число. Тогда центр Z(G) группы G нетривиальный, то есть содержит неединичные элементы.

Доказательство. Ранее было показано (см. 3), что любая группа G разбивается на не пересекающие классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные образованные элементами центра, причем их число неравно нулю, так как единица е группы G образуют одноэлементный класс.

Пусть число элементов центра равно t. Все элементы, не принадлежащие центру Z(G), порождают классы сопряженных элементов. Обозначим

, классы сопряженных элементов содержащие более одного элемента. Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса (по теореме 1.4.1. учитывая, что нормализатор и централизатора одного элемента совпадают):

.

Следовательно, по теореме Лагранжа

, где .

Тогда

, из этого равенства следует, что t делиться на p и так как , то таким образом централизатор Z(G) группы G нетривиален. ■

Далее докажем одно несложное утверждение которое понадобиться в дальнейшем.

Предложение 1.4.3. Фактор группа некоммутативной группы G по её центру Z(G) не может быть циклической.

Доказательство (от противного). Действительно, если G/Z(G) циклическая, то в смежном классе по Z являющимися образующим элементом этой циклической группы. Выберем некоторый элемент а. Подгруппа, порождающая этим элементом вместе с элементами из Z(G) совпадает со всей группой G. Из перестановочности между собой названных элементов следует коммутативность самой группы G–противоречие с условием. ■

Из доказанной выше теоремы 1.4.2 и предложения 1.4.3 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.4.4.Любая группа G порядка p², где p– простое число, коммутативна.

Доказательство(от противного). Пусть G – не коммутативная группа, так как Gявляется p-группой (конечная группа P является p-группой, если

), то её центр не единичен, то есть . Рассмотрим G/Z(G). Порядок G/Z(G) равен p по теореме Лагранжа, следовательно, G/Z(G) – циклическая (см. следствие 2 теоремы Лагранжа) – противоречие с предложением 1.4.3. Таким образом G– коммутативна. ■