Определение дуальных и двойных чисел (стр. 5 из 8)

Это условие можно переписать ещё так:

. (29)

Следовательно, “уравнение точки”, т.е. условие, которому удовлетворяют прямые

, проходящие через одну точку [ ], имеет вид

,

или

, A– чисто мнимое (30)

(здесь

, ).

Найдём теперь условие того, что четыре ориентированные точки

, , и принадлежат одной ориентированной окружности. При этом под ориентированной окружностью мы здесь понимаем совокупность всех ориентированных прямых l, ориентированное расстояние {O,l} которых от данной точки O (центра окружности) имеет фиксированное значение r. Число r называется радиусом окружности; таким образом, радиус ориентированной окружности может быть как положительным, так и отрицательным. Из определения ориентированного расстояния {O,l} от точки O до прямой l следует, что радиус ориентированной окружности будет положительным, если направление обхода противоположно направлению вращения часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Можно показать, что четыре ориентированные прямые

, , и в том и только в том случае принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку, если

{[

],[ ]} {[ ],[ ]}={[ ],[ ]} {[ ],[ ]}. (31)

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рис. 33, на котором изображены четыре ориентированные касательные

, , и ориентированной окружности S, касающиеся S соответственно в точках M,N,PиQ; точки [ ], [ ], [ ] и [ ] обозначены через A, B, CиD. При этом, очевидно, имеем

{A,B}

{C,D}={A,P} {P,B} {C,Q} {Q,D}

и

{D,A}

{B,C}={D,M} {M,A} {B,N} {N,C}

В силу известного свойства касательных к окружности

{A,P}={M,A}, {P,B}={B,N}, {C,Q}={N,C}, {Q,D}={D,M},

значит, во всех случаях выполняется условие (31)

{A,B}

{C,D}={D,A} {B,C}.

Нетрудно убедиться и в том, что если равенство (31) имеет место, то четыре прямые

, , и принадлежат одной ориентированной окружности или проходят через одну точку.

Воспользовавшись теперь формулой (28), мы можем переписать условие (31) следующим образом:

,

или, несколько упростив левую часть последнего равенства и преобразовав правую,

.

Но

и

(т.к.

и )

Таким образом, равенство (31) можно переписать в следующей простой форме:

. (32)

Дуальное число

естественно называть двойным отношением четырёх прямых , , и ; обозначать его будем символом W( , , , ). Таким образом, условием того, что четыре прямые , , и принадлежат одной ориентированной окружности (ненулевого радиуса или окружности радиуса нуль – точке), является вещественность двойного отношения W( , , , )= этих четырёх прямых.