Определение дуальных и двойных чисел (стр. 3 из 8)
Глава II.
2.1 Дуальные числа как ориентированные прямые плоскости.
Две ориентированные прямые будем называть параллельными лишь в том случае, если они параллельны в обычном смысле и направления этих прямых совпадают (рис. 1, а); параллельные прямые противоположных направлений будем называть противопараллельными (рис. 1, б).
а б
Рис. 1
Под расстоянием от прямой a до не пересекающей её прямой bбудем понимать ориентированное расстояние {a,b} от a до b, т.е. ориентированное расстояние от произвольной точки прямой a до прямой b; очевидно, что {a,b}=-{b,a}, если aиb параллельны, и {a,b}={b,a}, если a и b противопараллельны.
Полярные координаты точек плоскости определяются заданием некоторой точки O (полюса системы координат) и проходящей через O ориентированной прямойo (полярной оси); координатами точки M служат расстояние r=OM этой точки от полюса и угол
={o,m}, образованный с oориентированной прямой m, соединяющей OиM. Аналогично этому можно определить полярные координаты ориентированных прямых плоскости, для задания которых надо также указать некоторую ориентированную прямую o (полярную ось) и лежащую на o точку O (полюс); координатами прямой l служат угол 
={o,l}, образованный l с полярной осью o, и ориентированное расстояние s={O,L} от O до точки L пересечения lи o (рис. 2,а). Очевидно, что координатаs ориентированной прямой lможет иметь любое значение, заключённое между 
и 
; координата – любое значение, заключённое между 0 и 2 
. Естественно считать, что =0 для прямых, параллельных полярной оси o, и = для прямых, противопараллельных o; если прямая не пересекает оси o, то координаты sона не имеет (можно считать, что в этом случае 
). 
 |
Условимся сопоставлять ориентированной прямой l с полярными координатами
и sдуальное число 
, 
, 
(19)(рис. 2). При этом параллельным o прямым, для которых
=0, естественно относить числа нулевого модуля, т.е. делители нуля 
. Чтобы установить точное соответствие между параллельными o прямыми и делителями нуля, заметим, что расстояние d={O,l} не параллельной o прямой l от полюса O равно 
(20)(рис. 2, а). Чтобы формула (20) сохранила силу и для параллельной o прямой m, отстоящей от o на расстоянии {o,m}=d, то этой прямой нужно сопоставить число
(т.е. 
, где u=0 и 
).Двум пересекающим o прямым lи l 
, отличающимся только направлением и, следовательно, имеющим полярные координаты (
) и ( 
), отвечают дуальные числа 
и
.Считая, что это соотношение сохраняет силу и для прямых, не пересекающих o, условимся относить противопараллельной o прямой m , отстоящей от o на расстоянии {o,m }=d , число
(заметим, что если расстояние {o,m} от o до параллельной o прямой m, совпадающей по положению на плоскости с прямой m , равно d, то d=-d ). Прямой o , отличающейся только направлением от полярной оси o (противооси), мы сопоставим число
.Тем самым мы устанавливаем полное соответствие между ориентированными прямыми плоскости и дуальными числами, включая сюда также и числа вида w
, где w 
0 вещественно, и число 
.Очевидно, что вещественным числам
отвечают проходящие через полюс O прямые; числам модуля 1 – перпендикулярные o прямые; чисто мнимым числам v 
(числам нулевого модуля) и числам бесконечного модуля w отвечают параллельные и противопараллельные оси o прямые. Сопряжённым числам и 
отвечают прямые симметричные относительно полюса O; противоположным числам 
и 
– прямые, симметричные относительно полярной оси o (т.е. прямые, пересекающие o в одной и той же точке L и образующие сo равные углы 
{o,z}= {-z,o}; см. рис. 2, б); числам z и 
отвечают прямые, отличающиеся только направлением. Таким образом, равенства 
(а), 
(б), 
(в) (21)можно понимать как записи определённых преобразований в множестве ориентированных прямых плоскости: симметрии относительно точки O, симметрии относительно прямой o и переориентации (изменения направления всех прямых плоскости на противоположное).
Выясним теперь, как записываются с помощью дуальных чисел произвольные движения (к числу которых отнесём и переориентацию, также не меняющую расстояний между точками плоскости).
Параллельный перенос вдоль o на расстояние t переводит прямую, которой отвечает дуальное число
,в прямую, которой отвечает число
(рис. 3, а). Отсюда вытекает, что этот параллельный перенос можно записать так:
, где 
, 
(22)