Определение дуальных и двойных чисел (стр. 2 из 8)
Форма (8) записи дуальных чисел очень удобна в тех случаях, когда эти числа приходится перемножать или делить. Действительно,
; (9)следовательно, модуль произведения двух дуальных чисел равен произведению модулей сомножителей[1], а аргумент произведения - сумме аргументов. Отсюда вытекает, что модуль частного двух дуальных чисел равен частному модулей этих чисел, а аргумент частного – разности соответствующих аргументов:
. (10)Наконец, из этих правил выводятся также и законы, позволяющие возвышать дуальное число в любую степень и извлекать из него корень:
(11)(из последней формулы вытекает, что корень нечётной степени из дуального числа при
определяется однозначно; корень же чётной степени не существует, если r<0, и имеет два значения, еслиr>0[2]).1.2 Двойные числа
В полной аналогии со всем изложенным выше назовём двойные числа
и 
сопряжёнными, если они имеют вид 
и 
.Сумма
и произведение 
сопряжённых двойных чисел вещественны; корень квадратный из числа 
, знак которого совпадает со знаком большего по абсолютной величине из вещественных чисел a и b, называется модулем числа и обозначается через 
. Легко проверить, что для двойных чисел остаются в силе все формулы (3); кроме того, ясно, что равенство 
характеризует вещественные числа 
, а равенство 
- чисто мнимые числа 
.Сложение, вычитание, умножение и деление двойных чисел определяются формулами
(12)Отсюда следует, что и здесь деление на
возможно лишь в тех случаях, когда 
. Двойные числа 
, модуль которых равен нулю, называются делителями нуля (заметим, что 
). В некоторых случаях оказывается удобным считать частные 
, 
и 
числами новой природы; при этом оказывается необходимым ещё расширить понятие двойного числа, введя дополнительно произведения 
и 
новых чисел 
и 
на всевозможные вещественные числа c и частные 
и 
. Правила действия над символами , , 
, 
и 
определяются формулами (5) и рядом соотношений, родственных (6), например: 
(13)и т. д. Естественно также положить
, 
, 
, 
, (13а)что обеспечит выполнение для расширенного указанным образом множества двойных чисел равенства
и всех соотношений (3).Двойные числа ненулевого модуля можно также записать в форме, аналогичной форме (8) записи дуальных чисел. Пусть
- модуль двойного числа; далее 
.Из определения модуля следует, что
и что большая (по абсолютной величине) из дробей 
и 
положительна. Отсюда вытекает, что 
, 
или 
, 
, (14)где
есть некоторое число (определённое формулами (14)), а 
и 
– гиперболический косинус и гиперболический синус аргумента .Таким образом, имеем
или 
. (15)величина
называется аргументом двойного числа z и обозначается через Argz[3].Форма (15) записи двойных чисел очень удобна в тех случаях, когда приходится перемножать два или несколько двойных чисел. Действительно, из формул сложения гиперболических функций следует, что
(16)Таким образом, модуль произведения двух двойных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов; при этом произведение имеет первую или вторую из форм (15) в зависимости от того, имеют ли сомножители одну и ту же или разные формы. Из формул (16) сразу вытекают правила деления двойных чисел:
; 
. (17)Из формул (16) получаются также правила, позволяющие возводить двойное число в любую целую положительную степень n и извлекать из него корень степени n:
, 
при
n нечётном,
при n чётном;
