Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов (стр. 2 из 3)

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене

на

, будет

; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью

Вероятность

принято называть доверительной вероятностью, а интервал

- доверительным интервалом. Границы интервала

называются доверительными границами.

Интервальные оценки.

Пусть имеется параметрическая статическая модель

, и по выборке

, соответствующей распределению

наблюдаемой СВ

, требуется определить неизвестный параметр

. Вместо точечных оценок, рассмотренных ранее, рассмотрим другой тип оценок неизвестного параметра

Интервал

со случайными концами, «накрывающий» с вероятностью

, неизвестный параметр

, т. е.

называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой) уровня надежности

параметра

Число

называется доверительной вероятностью или уровнем доверия.

Уровень значимости.

Уровнем значимости статистического критерия называется вероятность ошибки 1-го рода

. Вероятность ошибки 1-го рода

может быть вычислена, если известно распределение

Ошибки 1 и 2-го рода.

Ошибкой 1-го рода называется событие, состоящее в том, что гипотеза

отвергается, когда она верна.

Ошибкой 2-го рода называется событие, состоящее в том, что принимается гипотеза

, когда верна гипотеза

Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой H или просто гипотезой называется любое предположение относительно параметров или закона распределения СВ

, проверяемое по выборке

Проверяемая гипотеза называется основной (или нулевой) и обозначается

. Гипотеза, конкурирующая с

, называется альтернативной и обозначается

Статистическая гипотеза

называется простой, если она однозначно определяет параметр или распределение СВ

. В противном случае гипотеза

называется сложной.

Статистическим критерием (критерием согласия, критерием значимости или решающим правилом) проверки гипотезы

называется правило, в соответствии с которым по реализации

статистики

гипотеза

принимается или отвергается.

Критической областью

статистического критерия называется область реализаций

статистики
, при которых гипотеза

отвергается.

Доверительной областью

статистического критерия называется область значений

статистики
, при которых гипотеза

принимается.

Практическая часть.

Этап 1 (Вычисление оценок

неизвестных коэффициентов регрессии

;

- оценка полезного сигнала (кривая регрессии);

- ошибка;

Формулируем все ошибки:

Находим наименьшую ошибку. Для этого продифференцируем уравнение по a и по b, приравняем к 0, получив систему:

- система нормальных уравнений.

Решаем систему методом Крамера:

Расчетная схема для оценок

по методу наименьших квадратов.

Номер	Y	X	y^2	X*Y	x^2	δ^2=(y-at-b)^2
1	13,393	-2	179,37245	-26,786	4	84,52154547
2	13,207	-1,92	174,42485	-25,3574	3,6864	77,33345969
3	13,477	-1,84	181,62953	-24,7977	3,3856	63,01706699
4	11,911	-1,76	141,87192	-20,9634	3,0976	79,54344995
5	14,311	-1,68	204,80472	-24,0425	2,8224	35,20165139
6	14,979	-1,6	224,37044	-23,9664	2,56	21,89755599
7	14,437	-1,52	208,42697	-21,9442	2,3104	21,49126227
8	14,957	-1,44	223,71185	-21,5381	2,0736	12,46267515
9	13,044	-1,36	170,14594	-17,7398	1,8496	23,59662672
10	112,142	-1,28	12575,828	-143,542	1,6384	8991,966406
11	12	-1,2	144	-14,4	1,44	22,3767305
12	11,496	-1,12	132,15802	-12,8755	1,2544	21,61124277
13	12,927	-1,04	167,10733	-13,4441	1,0816	6,928339322
14	11,849	-0,96	140,3988	-11,375	0,9216	9,762864991
15	11,612	-0,88	134,83854	-10,2186	0,7744	7,705858746
16	10,401	-0,8	108,1808	-8,3208	0,64	11,56902772
17	8,755	-0,72	76,650025	-6,3036	0,5184	19,90687251
18	8,185	-0,64	66,994225	-5,2384	0,4096	19,76777254
19	9,681	-0,56	93,721761	-5,42136	0,3136	5,590769531
20	9,644	-0,48	93,006736	-4,62912	0,2304	3,29736681
21	9,073	-0,4	82,319329	-3,6292	0,16	3,244500827
22	8,535	-0,32	72,846225	-2,7312	0,1024	3,075233208
23	9,062	-0,24	82,119844	-2,17488	0,0576	0,410905071
24	7,602	-0,16	57,790404	-1,21632	0,0256	2,296447057
25	9,164	-0,08	83,978896	-0,73312	0,0064	0,399692323
26	6,913	0	47,789569	0	0	1,067444888
27	9,749	0,08	95,043001	0,77992	0,0064	5,704661232
28	5,543	0,16	30,724849	0,88688	0,0256	1,517679181
29	5,901	0,24	34,821801	1,41624	0,0576	0,083131718
30	5,901	0,32	34,821801	1,88832	0,1024	0,088381223
31	6,76	0,4	45,6976	2,704	0,16	3,034234095
32	4,593	0,48	21,095649	2,20464	0,2304	0,025766932
33	6,131	0,56	37,589161	3,43336	0,3136	5,217278758
34	3,651	0,64	13,329801	2,33664	0,4096	0,151906494
35	3,796	0,72	14,409616	2,73312	0,5184	1,255222992
36	3,663	0,8	13,417569	2,9304	0,64	2,474275069
37	3,068	0,88	9,412624	2,69984	0,7744	2,444839854
38	3,008	0,96	9,048064	2,88768	0,9216	4,364814626
39	2,809	1,04	7,890481	2,92136	1,0816	6,129731157
40	0,333	1,12	0,110889	0,37296	1,2544	0,342745729
41	1,73	1,2	2,9929	2,076	1,44	6,59493426
42	-0,072	1,28	0,005184	-0,09216	1,6384	1,827027788
43	0,479	1,36	0,229441	0,65144	1,8496	6,191594234
44	-3,18	1,44	10,1124	-4,5792	2,0736	0,34233389
45	-2,962	1,52	8,773444	-4,50224	2,3104	0,047752061
46	-5,849	1,6	34,210801	-9,3584	2,56	4,338314281
47	-6,153	1,68	37,859409	-10,337	2,8224	3,244489064
48	-7,911	1,76	62,583921	-13,9234	3,0976	8,842481446
49	-10,134	1,84	102,69796	-18,6466	3,3856	21,26146404
50	-11,662	1,92	136,00224	-22,391	3,6864	30,84025156
Сумма	411,949	-2	16631,368	-504,296	66,72	9666,40808

Подставив найденные суммы в систему, получаем оценки