курсовые (стр. 2 из 3)
2).В окрестности точки максимума подынтегральную функцию можно заменить более простой (например,такой,что интеграл от нее берется или его асимптотика легко вычисляется).
2.Простейшие оценки Лемма 1.1. Пусть
и при некотором
интеграл (1.1) сходится абсолютно: 
.Тогда имеет место оценка
.3.Лемма Ватсона
Рассмотрим интеграл Лапласа,в котором S-степенная функция
(1.4)где
.Так как в окрестности точки максимума S(x) можно приближенно заменить степенной функцией (вообще говоря),то вычисление асимптотики интегралов Лапласа (1.1) сводится к вычислению асимптотики эталонных интегралов (1.4).Получим асимптотические оценки для
при 
. Лемма 1.2 (Ватсона).Пусть 
.Тогда при справедливо асимптотическое разложение 
(1.5)Главный член асимптотики имеет вид
(1.5´)Пример 4.Вычислим интеграл
( 
)Здесь
, функция 
непрерывна на [0, 
] .Применим формулу (1.5´): 
Получили формулу:
( )4.Вклад от граничной точки максимума (основной случай)
Рассмотрим интеграл Лапласа
(см.(1.1)).Теорема 1.1. Пусть
- конечный отрезок и выполнены условия:1º.
достигается только в точке 
.2º.
.3º.
при 
,близких к 
,и 
.Тогда при
справедливо разложение 
(1.6)Коэффициенты
имеет вид 
, 
(1.7)Главный член асимптотики имеет вид
, ( ).Рассмотрим интеграл
( ).Пусть при
имеем 
и функция 
достигает максимума только в точке 
.Тогда при справедлива формула 
. (1.8)Пример 5.Вычислим интеграл
Функция
положительна для любого ; 
и достигает максимума на этом отрезке в точке 0.Применяя формулу (1.8), получим 
Пусть [a,b]- конечный отрезок
и пусть функция достигаетмаксимума только в точке
.Тогда для интеграла ( ).справедлива формула
где
, если 
; 
, если совпадает с одним из концов отрезка.Пример 6. Найдем асимптотику при
полинома Лежандра 
где
.В данном случае
. Функция 
достигает максимума при 
и 
По последней формуленаходим, что
Пример 7.Покажем, что при
Здесь
, 
.Применяя последнюю формулу,получим
5.Вклад от внутренней невырожденной точки максимума
Теорема 1.2. Пусть
- конечный отрезок и выполнены условия:1º.
достигается только в точке 
.2º.
.3º.
при ,близких к ,и .Тогда при
справедливо разложение 
(1.9)Коэффициенты
имеет вид 
(1.10)Главный член асимптотики (1.9) имеет вид
( 
).Теорема 1.3. Пусть все условия теоремы 1.2 выполнены, за исключением одного:
.Тогда при
справедливо разложение