Выборочный частный коэффициент корреляции
Точечная оценка

определяется по формуле:

,
здесь

- минор элемента

выборочной корреляционной матрицы

.
В случае трехмерной корреляционной модели для переменных

находятся три частных коэффициента корреляции:

;

;

.

называется частным коэффициентом детерминации.
Величина

есть доля дисперсии переменной

, обусловленная вариацией

при фиксированных остальных рассматриваемых переменных.
Множественный коэффициент корреляции
Мерой тесноты линейной взаимосвязи между переменной

и совокупностью остальных переменных

служит множественный коэффициент корреляции:

,
Где

- определитель матрицы

;

- минор

-го элемента главной диагонали матрицы

.
Если

, то множественный коэффициент корреляции

совпадает с абсолютным значением парного коэффициента корреляции

, т.е.

есть обобщение

.
По величине множественного коэффициента корреляции делается вывод о тесноте, но не о направлении взаимосвязи.
Свойства множественного коэффициента корреляции
- Численное значение множественного коэффициента корреляции заключено между нулем и единицей:

.
- Если

, то переменная

связана с остальными рассматриваемыми случайными величинами

линейной функциональной зависимостью.
Например, для трехмерной корреляционной модели, если

, то точки

расположены в плоскости регрессии

на

.
- Если

, то случайная величина

стохастически независима от других переменных, входящих в анализ.
В частности, если

, то одномерная случайная величина

и двумерная случайная величина

являются независимыми (в силу нормальности их совместного распределения).
- Множественный коэффициент корреляции не уменьшается при введении в модель дополнительных признаков и не увеличивается при исключении отдельных признаков из модели.
- По величине множественный коэффициент корреляции переменной

не меньше абсолютной величины частного коэффициента корреляции данной и любой другой переменной

:

.
Выборочный множественный коэффициент корреляции
В качестве точечной оценки

принимается

.
где

- минор

-го элемента главной диагонали выборочной корреляционной матрицы

.
В случае трехмерной корреляционной модели для переменных

вычисляются три множественных коэффициента корреляции:

;

;

.

называется множественным коэффициентом детерминации.
Множественный коэффициент детерминации

показывает долю дисперсии исследуемой случайной величины

, обусловленную изменением остальных переменных

.
Уравнения регрессии для трехмерной корреляционной модели
I. При фиксировании значения одной случайной величины в системе случайных величин

трехмерное нормальное распределение данных величин становится условным двумерным нормальным распределением, определяемым пятью параметрами.
Если фиксировано, например, значение

случайной величины

, то условное двумерное нормальное распределение

характеризуется следующими параметрами:

;

;

;

;

.
Линейная корреляционная зависимость между величинами

при фиксированном значении

случайной величины

графически выражается прямыми регрессии в плоскости

:

;

.
II. При фиксированных значениях двух переменных в системе случайных величин

трехмерное нормальное распределение есть определяемое двумя параметрами условное одномерное нормальное распределение соответствующей переменной.
В частности, при фиксированных значениях

компонент двумерного случайного вектора

совместное распределение переменных

становится условным одномерным нормальным распределением случайной величины

, параметрами которого являются условное математическое ожидание