Застосування симетричних многочленів (стр. 2 из 7)
Також можна сформулювати таку важливу властивість симетричних многочленів, яку називають основною теоремою.
Теорема1 (Основна теорема теорії симетричних многочленів): Всякий симетричний многочлен f (x1, x2, …, xn) від п змінних над полем Р можна подати у вигляді многочлена від основних симетричних функцій
цих змінних, коефіцієнти якого належать тому самому полю Р. І таке зображення єдине.Доведення. Зробимо насамперед такі зауваження.
1) Усіх членів певного степеня L, утворених з даних змінних x1, x2, …, xn (не враховуючи подібних), може бути лише скінченне число; це число, очевидно, дорівнює числу способів, якими можна подати як суму n невід'ємних цілих упорядкованих доданків.
2) Теорему досить довести для однорідних симетричних многочленів, бо всякий симетричний многочлен можна подати як суму однорідних симетричних многочленів. Справді, всякий многочлен є сумою однорідних многочленів. Якщо ж даний многочлен симетричний, то й кожний складовий однорідний многочлен повинен бути симетричний, бо при переставлянні змінних x1, x2, …, xn кожний член може перейти лише в член того самого степеня, тобто в інший член того самого однорідного складового многочлена.
3) Вищий член
будь-якого симетричного многочлена можна подати як вищий член деякого добутку основних симетричних функцій Справді, розглянемо добуток
(6)За наслідком з властивості 2, всі степені
— невід'ємні числа, тому (6) є многочленом від x1, x2, …, xn. За лемою, вищий член цього многочлена дорівнює добутку вищих членів многочленів 
(причому піднесення до степеня слід розглядати як множення однакових многочленів). Оскільки вищі члени 
дорівнюють відповідно x1; x1x2;…; x1x2… xn-1; x1x2… xn-1xn, то вищий член добутку (6) дорівнює: 
тобто (як це видно після елементарних перетворень) збігається з заданим членом
Після цих зауважень легко довести теорему.
1) Доведення Існування. Нехай вищий член симетричного многочлена f (x1, x2, …, xn) (який ми в результаті зауваження 2 можемо вважати однорідним многочленом степеня N) дорівнює
(7)Побудуємо симетричний многочлен
Згідно з зауваженням 3, вищий член цього многочлена дорівнює (7). Крім того, він однорідний, бо такими є всі многочлени
, а тому, очевидно, і їх добуток. Степінь многочлена 
дорівнює степеню многочлена f (x1, x2, …, xn) бо в них однакові вищі члени.Візьмемо
f1(
, , … 
xn) 
f ( , , 
xn) - 
.Зрозуміло, що f (
, , xn) — також однорідний симетричний многочлен степеня N. Але 
( , , xn) вже не містить усіх членів цього степеня. Справді, він не містить вищого члена (7), який у цій різниці знищується. Крім того, в цій різниці знищуються всі n! членів, які дістаємо з вищого члена перестановкою показників 
бо ці члени, за властивістю 2, входять в обидва симетричні многочлени.Тепер зрозуміло, що
( , , xn) може містити лише члени, нижчі за (7). Застосовуємо до цього многочлена той самий метод. Нехай вищий член многочлена має вигляд: 
(8)Вважаючи
B 
і утворюючи різницю:
f2(
, , … xn) f1( , , xn) - 
,бачимо, що
( , , xn) є симетричний і однорідний многочлен степеня N, який не може містити ні члена (7), ні члена (8), а тільки члени, нижчі за них. Оскільки, взагалі, різних членів степеня N може бути лише скінченне число (зауваження 1), то, продовжуючи цей процес, ми на якомусь кроці обов'язково дістанемо, що різниця fk+1 (x1, x2, …xп) = fk (x1, x2, …xп) - gk(x1, x2, …xn)
не може містити жодного члена степеня N, тобто дорівнює нулю. Тоді з рівностей
, 
,.
випливає, що
.А оскільки всі
виражені через 
добутки то многочлен f( , , xn) подано як многочлен від основних симетричних функцій f( , , xn) = 
(9)коефіцієнти якого знайдено з коефіцієнтів даного многочлена за допомогою операцій додавання і віднімання і тому належать полю Р. Теорему доведено. Справедлива також теорема про є д.и н і с т ь многочлена
2) Доведення єдиності.
Нехай маємо
f(
, , xn) = 