Структура некоторых числовых множеств (стр. 9 из 22)
Теорема 4. (Больцано — Вейерштрасса о последовательностях). Из всякой ограниченной последовательности х1, х2, х3,… можно выделить сходящуюся последовательность
, 
, 
,… ( 
< 
< 
<…)Доказательство
Рассмотрим множество Е членов последовательности х1, х2, х3, …. Если это множество конечно, то одна из его точек встречается в этой последовательности бесконечно много раз.
Пусть эта точка у и пусть
= 
= 
=…= у, тогда последовательность 
искомая.Если же указанное множество бесконечно, то к нему применима теорема Больцано – Вейерштрасса о множествах.
Пусть х0 есть предельная точка множества Е, тогда из Е можно выелить последовательность
, 
, 
,…, сходящуюся к точке х0, причем все ее члены, а тем более их индексы 
, различны.Положим,
= 
, и обозначим через 
первое из чисел 
, которое окажется больше, чем , затем обозначим через 
, первое из этих чисел, которое больше, чем , и т. д. В результате мы получим последовательность 
, 
, 
,…, где < < <…. Поскольку эта последовательность есть частичная для последовательности 
, то ясно, что lim 
= х0.Теорема доказана
§ 2. Замкнутые множества.
Рассмотрим определения ряда понятий, тесно связанных с понятием предельной точки.
Определения 1. Пусть Е точечное множество.
1. Множество всех предельных точек Е называется производным множеством для множества Е и обозначается через Е'.
2. Если Е'
Е, то множество Е называется замкнутым.3. Если Е
Е', то множество Е называется плотным в себе.4. Если Е = Е', то множество Е называется совершенным.
5. Множество Е + Е' называется замыканием множества Е и обозначается через
.Таким образом, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Плотное в себе множество лишено изолированных точек.
Совершенное множество замкнуто к плотно в себе [4; 60].
Теорема 1. Производное множество Е' любого точечного множества Е замкнуто.
Доказательство
Теорема очевидна, если Е' пусто.
Пусть Е' не пусто и х0 - предельная точка Е'.
Возьмем произвольный интервал
, содержащий точку х0 (рис. 2). По определению предельной точки, в этом интервале найдется точка 
Е'. Значит, интервал 
есть интервал, охватывающий предельную точку исходного множества Е, а потому он содержит бесконечное множество точек Е. 
( ) 
Рис. 2
Итак, всякий интервал, содержащий точку х0 содержит бесконечное множество точек Е, так что точка х0 есть предельная точка Е. Иначе говоря,
Е'. Таким образом, множество Е' содержит все свои предельные точки и, стало быть, замкнуто.Теорема доказана
Теорема 2. Если
то 
.Теорема 3. Справедлива формула
Доказательство
1) Так как
и 
, то 
.2) Докажем
Пусть
. Тогда из 
+ 
выделяется последовательность различных точек 
, такая, что 
.Если в этой последовательности найдется бесконечное множество точек, входящих в
, то 
будет предельной точкой множества 
и 
. Если же среди точек 
лишь конечное число принадлежит 
, то 
.Таким образом, всегда
.Итак,
и 
, значит 
.Теорема доказана
Следствие 1. Замыкание
любого множества 
замкнуто.Доказательство
Действительно
Следствие доказано.
Следствие 2. Для того чтобы множество Е было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало со своим замыканием
.Доказательство
Достаточность этого условия вытекает из предыдущего следствия.
Обратно, пусть множество
замкнуто, тогда 
, откуда и следует, что 
.Следствие доказано.
Теорема 4. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство
Рассмотрим сначала случай двух слагаемых множеств
. В силу теоремы 3 (стр. 28), имеем 
, но, так как 
то 
, откуда и следует теорема.