Структура некоторых числовых множеств (стр. 8 из 22)

Следствие доказано.

Теорема 6. Множество

всех непрерывных функций, заданных на отрезке имеет мощность с.

Доказательство

Пусть

, . Очевидно, и , откуда следует, что

(1)

Остается показать, что

(2)

Назовем через Н множество всех последовательностей вида

где

, независимо друг от друга, принимают все вещественные значения. В силу теоремы 7 (стр. 14) .

Перенумеруем все рациональные числа отрезка

: и каждой функции соотнесем последовательность .

Очевидно,

. При этом, если непрерывные функции и не тождественны, то .

Действительно, если бы было

, то равенство выполнялось бы для любого рационального значения из , откуда, в силу непрерывности обеих функций, следовал бы, что это равенство верно для всякого из , и функции и были бы тождественны.

Значит, множество

эквивалентно множеству .

Так как

и , то доказано соотношение (2), а с ним и теорема.

Глава 2. Точечные множества

§ 1. Предельная точка

В этом разделе будут рассмотрены множества точек числовой прямой и все основные понятия и теоремы связанные с ними.

Определение 1. Точка х₀ называется предельной точкой (или точкой сгущения) точечного множества Е, если всякий интервал, содержащий эту точку, содержит хоть одну точку Е, отличную от точки х_0.

Сама точка х₀ может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Е.

Если точка х₀ принадлежит множеству Е, но не является его предельной точкой, то она называется изолированной точкой множества Е.

Теорема 1. (свойство предельной точки). Если х₀ есть предельная точка множества Е, то всякий интервал (а, b), содержащий эту точку, содержит бесконечное множество точек Е.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть интервал (а, b), содержащий точку х₀, содержит только конечное число точек множества Е. Пусть отличные от х₀ точки множества Е ∙ (а, b) это у₁, у₂,…, у_n, и пусть к = min{│ х₀ – у_i │, i = 1,2,…,n}.

Рассмотрим интервал (х₀ – к, х₀ + к). Ни одна из точек у₁, у₂,…, у_n в него не попадает, а так как (х₀ – к, х₀ + к)

(а, b), то интервал (х₀ – к, х₀ + к) вообще не содержит точек Е, отличных от х₀, а это противоречит тому, что х₀ предельная точка множества Е.

Теорема доказана.

Понятие предельной точки можно рассмотреть с другой точки зрения.

Теорема 2. Для того, чтобы точка х₀ была предельной точкой множества Е, необходимо и достаточно, чтобы из этого множества можно было выделить последовательности различных точек х₁, х₂,…, х_n…, такую, что

Доказательство

Достаточность очевидна. Докажем необходимость.

Пусть х₀ есть предельная точка множества Е.

Выберем в интервале (х₀ - 1, х₀ +1) точку х₁

Е, отличную от х₀. Затем в интервале (х₀ - , х₀ + ) выберем точку х₂ Е, отличную от х₀ и от х₁ и т.д.

На n–м шагу процесса выбираем в интервале (х₀ -

, х₀ + ) точку х_n Е, отличную от х₀, х₁, …, х_n-1. В результате из множества Е выделена последовательность {х_n}, для которой

Теорема доказана

Доказанная теорема позволяет рассмотреть эквивалентное определение предельной точки.

Определение 2. Точка называется предельной точкой множества Е, если из этого множества можно выделить последовательность различных точек х₁, х₂,…, х_n…, такую, что

Теорема 3. (Б. Больцано – К. Вейерштрасса о множествах). Всякое бесконечное ограниченное множество Е имеет хотя бы одну предельную точку (которая может и не принадлежать Е).

Доказательство

Так как множество Е ограничено, то можно указать содержащий его отрезок

[a, b]. Пусть с =

и рассмотрим отрезки [a, c] и [с, b]. Не может оказаться, чтобы каждый из этих отрезков содержал только конечное число точек Е, так как в этом случае и все множество Е было бы конечным. Значит, хотя бы один из этих отрезков содержит бесконечное множество точек Е. Обозначим его через [a₁, b₁] (если оба отрезка содержат бесконечное множество точек Е, то в качестве отрезка [a₁, b₁] выбираем любой из них).

Пусть с₁ =

и обозначим через [a₂, b₂] тот из отрезков [a₁, с₁] и [b₁, a₁], на котором лежит бесконечное множество точек Е (существование его устанавливается также как и выше).

Продолжая этот процесс, мы построим бесконечную последовательность вложенных отрезков [a, b]

[a₁, b₁] [a₂, b₂] …, каждый из которых содержит бесконечное множество точек Е.

Так как

, то длина отрезка [a_n, b_n] стремится к нулю при . Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках, сущесвтует точка х₀, общая для всех отрезков [a_n, b_n], n = 1,2,…, причем lim a_n = lim b_n = х₀.

Покажем, что х₀ предельная точка множества Е. Для этого возьмем произвольный интервал

, содержащий х₀. Очевидно, если n достаточно велико, то [a_n, b_n] , так что в находится бесконечное множество точек Е. Значит х₀ предельная точка множества. Теорема доказана.

Замечание. Условие ограниченности множества Е не может быть опущено. Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно хотя и бесконечно, но не имеет ни одной предельной точки.

Часто оказывается полезной другая форма теоремы Больцано — Вейерштрасса, в которой речь идет не о множествах, а о числовых последовательностях.

Определение 3. Последовательность х₁,х₂,…,х_n… называется ограниченной, если существует такое число k, что при всех n выполняется условие

.