Структура некоторых числовых множеств (стр. 6 из 22)

Положим теперь

. Эта функция задана для , т.е. . Но тогда в соответствии функция отвечает некоторому числу , т.е. , или .

Таким образом, получаем

, . А это невозможно, например для .

Итак, действительно

не .

Рассмотрим множество функций

, где . При этом и . Значит множество всех действительных функций, заданных на отрезке , имеет мощность, большую с.

Теорема доказана.

Определение 3. Мощность множества

всех функций, заданных на отрезке , обозначается символом .

Возникает вопрос: существуют ли мощности, большие чем

? Оказывается, что да, существуют. Больше того, исходя из множества любой мощности, можно построить множества большей мощности [6; 29].

Теорема 2. Пусть М какое-либо множество. Если Т множество всех подмножеств множества М, то

.

Доказательство

Отметим, что элементами множества Т являются все подмножества М, в частности само М, пустое множество 0 и все одноэлементные подмножества М.

Покажем сначала, что Т не

.

Допустим противное. Пусть

, и пусть - какое-либо взаимнооднозначное соответствие между этими множествами.

Каждому

в соответствии отвечает определенный элемент Т, который мы обозначим через , и каждый элемент Т есть для одного и только одного .

Назовем элемент

«хорошим», если , и «плохим» в противном случае. Элемент, который в соответствии отвечает самому множеству М, наверное «хороший», а элемент, отвечающий пустому множеству, наверное «плохой».

Пусть

множество всех «плохих» (и только «плохих») элементов М. Так как , то в соответствии множеству отвечает элемент , .

Каков же этот элемент

- «хороший» или «плохой»? Допустим, что «хороший» элемент. Это значит, что , а так как состоит только из «плохих» элементов, то элемент «плохой», что противоречит сделанному допущению.

Итак,

«плохой» элемент. Но тогда , а это означает, что «хороший» элемент.

Стало быть, элемент

ни «хороший», ни «плохой», а так как всякий элемент или «хороший» или «плохой», то получается абсурдная ситуация, которая и обнаруживает, что Т не .

Если

- множество всех одноэлементных подмножеств М, то, очевидно, , а так как , то теорема доказана.

Замечание. Пусть М конечное множество, состоящее из

элементов.

Тогда множество Т содержит

элементов.

В самом деле, Т содержит одно пустое множество,

одноэлементных множеств, двухэлементных множеств, и т.д., а всего в Т будет входить 1 + + + … + = элементов.

Отметим, что этот результат верен и для случаев, когда М пустое, или одноэлементное множество.

Определение 4. Если множество М имеет мощность

, а множество всех его подмножеств Т имеет мощность , то говорят, что .

Теорема 3. Справедлива формула

.

Доказательство

Пусть Т – множество всех подмножеств натуральных чисел

, а множество всех последовательностей вида

.

Тогда

,

Возьмем произвольный элемент

некоторое множество натуральных чисел. Соотнесем последовательность по такому правилу: если , то , а если , то . Очевидно, мы получаем при этом взаимнооднозначное соответствие между и , что и доказывает теорему [6; 32].