Структура некоторых числовых множеств (стр. 4 из 22)
Если же двоичная дробь не содержит цифру 0 или 1 в периоде, то
и других двоичных разложений 
не имеетВернемся к доказательству теоремы.
Условимся не пользоваться дробями, содержащими единицу в периоде. Тогда каждое число из полуинтервала
будет иметь единственное представление в форме 
(1)причем, какое бы число
ни взять, найдутся такие 
, что 
Обратно, любой дроби (1) с этим свойством отвечает точка из
. Но задать дробь (1) можно, указав те 
, для которых 
Эти
образуют возрастающую последовательность натуральных чисел 
(2)и каждой такой последовательности отвечает дробь (1). Значит, множество
последовательностей (2) имеет мощность 
. Но между множествами и 
легко установить взаимнооднозначное соответствие. Для этого достаточно соотнести последовательности (2) последовательность 
из , для которой 
, 
, 
,…Теорема доказана.
Теорема 6. Если элементы множества А определяются
значками, каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью 
, то множество А имеет мощность .Доказательство
Достаточно рассмотреть случай для трех значков, так как рассуждение имеет общий характер.
Пусть
Назовем через
(соответственно, 
и 
) множество значений значка 
(соответственно, 
и 
), при этом каждый из значков изменяется независимо от прочих и каждое из множеств 
, имеет мощность .Установим взаимнооднозначное соответствие между каждым из множеств
, и множеством всех последовательностей натуральных чисел. Это позволит установить такое же соотношение между 
и .Пусть
, где 
, 
, 
.В соответствиях между
, и элементам 
, 
, 
отвечают какие-то элементы из .Пусть
элементу
отвечает последовательность 
,элементу
отвечает последовательность 
,элементу
отвечает последовательность 
.Соотнесем элементу
последовательность 
, очевидно входящую в .Этим мы действительно получили взаимнооднозначное соответствие между А и Р, значит множество А имеет мощность
.Теорема доказана.
Следствие 1. Множество всех точек плоскости имеет мощность
.Следствие 2. Множество всех точек трехмерного пространства имеет мощность
.Следствие 3. Сумма с попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с [6; 27].
Теорема 7. Если элементы множества А определяются с помощью счетного множества значков
, каждый из которых, независимо от прочих значков, принимает множество значений мощностью , то множество А имеет мощность с.Доказательство
Пусть множество значений значка
есть 
.Свяжем его взаимнооднозначным соответствием с множеством Р всех последовательностей натуральных чисел.
Пусть это соответствие обозначено
.Сделав это, выберем произвольный элемент
.Тогда
, где 
.Пусть в соответствии
значению 
значка отвечает последовательность 
Тогда элементу
отвечает бесконечная целочисленная матрица