Структура некоторых числовых множеств (стр. 3 из 22)
Так как длина отрезка
с возрастанием 
стремиться к нулю, то по теореме Кантора о вложенных отрезках, существует точка 
, общая для всех отрезков 
, 
.Так как
, то точка должна входит в последовательность (1). Но это невозможно, ибо , 
. Отсюда получаем, что точка не может совпасть ни с одной из точек последовательности (1).Теорема доказана
Определение 1. Если множество А эквивалентно отрезку
то говорят, что А имеет мощность континуума, или короче, мощность с.Теорема 2. Всякий отрезок
, всякий интервал 
и всякий полуинтервал 
или 
имеет мощность с.Доказательство
Пусть
, 
Формула
устанавливает взаимнооднозначное соответствие между множествами
и 
, откуда и следует, что А имеет мощность континуума.Так как удаление одного или двух элементов из бесконечного множества приводит к множеству, эквивалентному исходному, то промежутки
, 
, 
имеет ту же мощность, что и отрезок , т.е. мощность с.Теорема доказана.
Теорема 3. Сумма конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.
Доказательство
Пусть
, 
где каждое из множеств
имеет мощность с.Возьмем полуинтервал
и точками 
разложим его на полуинтервалов 
, 
Каждый из этих полуинтервалов имеет мощность с, так что мы можем связать множество
и полуинтервал 
взаимнооднозначным соответствием. Легко видеть, что таким образом оказывается, установлено взаимнооднозначное соответствие между суммой 
и полуинтервалом 
Теорема доказана.
Теорема 4. Сумма счетного множества попарно не пересекающихся множеств мощности с имеет мощность с.
Доказательство
Пусть
, 
где каждое из множеств
имеет мощность с.Возьмем на полуинтервале
монотонно возрастающую последовательность и точками 
для которой 
.Установив взаимнооднозначное соответствие между множествами
и для всех 
, мы тем самым установим взаимнооднозначное соответствие между 
и .Теорема доказана.
Следствие 1. Множество
всех действительных чисел имеет мощность с.Следствие 2. Множество всех иррациональных чисел имеет мощность с.
Следствие 3. Существуют трансцендентные (неалгебраические) числа.
Теорема 5. Множество
всех последовательности натуральных чисел 
имеет мощность 
.Доказательство
Докажем теорему двумя способами:
1) Основанное на теории непрерывных дробей.
Установим взаимнооднозначное соответствие между Р и множеством всех иррациональных чисел интервала (0, 1), считая взаимосоответствующими последовательность
и иррациональное число 
, для которого разложение в непрерывную дробь имеет вид 
.Возможность соответствия и доказывает теорему.
2) Основанное на теории двоичных дробей.
Рассмотрим некоторые факты этой теории:
1. Двоичной дробью называется сумма ряда
, 
Указанная сумма обозначается символом
2. Всякое число
допускает представление в форме 
Это представление единственно в случае, когда х не есть дробь вида
Числа 0 и 1 разлагаются (единственным образом) в дроби 
, 
Если же
, то 
допускает два разложения. В этих разложениях знаки 
… 
совпадают, а знак 
в одном из них равен 1, а в другом 0. Все остальные знаки у первого разложения нули (0 в периоде), а у второго единицы (1 в периоде).Например
3. Всякая двоичная дробь равна некоторому числу
.Если эта дробь содержит 0 или 1 в периоде, то
есть число вида 
, исключение составляют дроби 
и 
, и тогда, наряду с исходным, существует еще одно двоичное разложение 
.