Структура некоторых числовых множеств (стр. 21 из 22)

В каждом интервале вида

или произвольно выберем только одну точку

или

.

И рассмотрим отрезки

, которые могут иметь один бесконечный конец (рис. 7).

Рис. 7

- замкнуто, значит, дополнение - открыто (рис. 8).

Рис. 8

Теперь в каждом интервале

выберем другие точки следующим образом:

в интервале

где

выберем две точки

( ):

,

(рис. 9);

в каждом интервале вида

или выберем только одну точку

или

.

Рис. 9

И рассмотрим отрезки

, которые могут иметь один бесконечный конец (рис. 10).

Рис. 10

- замкнуто, значит, дополнение - открыто (рис. 11).

Рис. 11

В каждом интервале

выберем еще точки следующим образом:

в интервале

, где выберем две точки

( )

,

;

в каждом интервале вида

или выберем только одну точку

или

.

Рассмотрим отрезки

которые могут иметь один бесконечный конец.

- замкнуто, значит, дополнение - открыто.

Продолжим этот процесс не ограниченно.

В результате в каждом интервале

получим последовательности точек и (или) , причем , (рис. 12).