Структура некоторых числовых множеств (стр. 20 из 22)
Утверждение доказано.
Задача №4
Доказать, что множество точек
, десятичное разложение которых возможно без помощи цифры 7, совершенно.Доказательство
Разделим отрезок
на 10 равных частей точками 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
и 
. И удалим из него «восьмой по счету» интервал 
.Каждый из 9 оставшихся отрезков
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
и 
разделим на 10 равных частей и удалим «восьмые по счету» интервалы 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
и так далее, продолжаем это процесс неограниченно (рис. 5).
множество теорема мощность счетный
0 
10
1Рис. 5
В результате из
окажется удаленным открытое множество 
, являющееся суммой счетного множества интервалов 
+ + + + + + + + 
…Оставшееся множество
оказывается совершенным по теореме 7 (стр. 42). Рассмотрим разложение в десятичную дробь. Выясним, какие точки попадают в первый из удаленных интервалов 
. При разложении каждой из этих точек в десятичную дробь 
, 
необходимо окажется 
.Концы же этого интервала допускают каждый по два представления
; 
.Все остальные точки отрезка
при разложении в десятичную дробь не могут иметь на первом месте после запятой цифру семь.Итак, на первом шагу процесса построения множества
из отрезка 
удаляются те и только те точки, первый десятичный знак которых семь.Аналогично, можно установить, что на втором шагу удаляются те и только те точки, второй десятичный знак которых семь, и т.д.
Поэтому после окончания процесса останутся неудаленными те и только те точки, которые могут быть изображены десятичной дробью
, в которой ни одно из 
не равно семи. Таким образом, множество состоит из точек, троичное разложение которых невозможно без помощи семи, а 
- из точек, для которых такое разложение возможно.Задача №5
Найти ошибку в следующем доказательстве теоремы:
Каждое замкнутое множество есть пересечение счетного множества открытых множеств.
Доказательство
Пусть
- некоторое замкнутое множество. Рассмотрим дополнение 
множества . Множество - открыто, следовательно, представимо в форме суммы конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых не принадлежат , при этом, если - неограниченно, то среди этих интервалов возможно есть интервал (или интервалы), одним концом которого является бесконечность (т.е. интервалы вида 
или ( 
) (рис. 6). 
Рис. 6
Обозначим полученные интервалы через
, где 
, тогда 
Пусть
где
. Заметим, что концами 
и данных интервалов возможно являются не только действительные числа, но 
и 
.В каждом интервале
, где 
произвольно выберем две точки 
( 
), 