Структура некоторых числовых множеств (стр. 2 из 22)

Теорема 1. Для того чтобы множество А было счетным, необходимо и достаточно, чтобы его можно было перенумеровать, т.е. представить в форме последовательности

Теорема 2. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Теорема 3. Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

Следствие 1. Если из счетного множества А удалить конечное подмножество М, то оставшееся множество А – М будет счетным.

Теорема 4. Сумма конечного множества и счетного множества есть счетное множество.

Теорема 5. Сумма конечного числа счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 6. Сумма счетного множества конечных множеств есть счетное множество.

Теорема 7. Сумма счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

Теорема 8. Множество

всех рациональных чисел счетно.

Доказательство

Множество дробей вида

с зафиксированным знаменателем , т.е. множество

очевидно счетно

Но знаменатель может принимать также счетное множество натуральных значений. Значит, в силу теоремы 7, множество

М=

- счетно

Удаляя из М все сократимые дроби и применяя теорему 3, убеждаемся в счетности всех положительных рациональных чисел

, а значит в счетности всех отрицательных рациональных чисел , т.к. множества

Отсюда множество все рациональных чисел

счетно, поскольку

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество рациональных чисел любого отрезка

счетно.

Теорема 9. Если к бесконечному множеству М прибавить конечное или счетное множество А новых элементов, то это не изменит его мощности, т.е.

Доказательство

Выделим, пользуясь теоремой 2, из М счетное подмножество

и пусть , тогда , . Так как , , применяя теоремы 4 и 5 , получаем .

Теорема доказана.

Теорема 10. Если бесконечное множество

несчетно, а А его конечное или счетное подмножество, то .

Доказательство

Множество

не может быть конечным, иначе исходное множество было бы конечным или счетным. Но тогда по теореме 9, будет , а это и значит, что . Теорема доказана.

Теорема 11. Если элементы множества А определяются

значками, каждый из которых, независимо от других, пробегает счетное множество значений

( , то множество А счетно.

Доказательство

Докажем теорему методом математической индукции.

Теорема очевидна, если

.

Допустим, что теорема справедлива для

, покажем, что она справедлива и для .

Пусть

Обозначим через

множество тех элементов А, для которых , где одно из возможных значений -го значка, т.е. положим

В силу сделанного допущения множество

счетно, а так как

, то счетно и А

Теорема доказана

Следствие 1. Множество точек плоскости, у которых обе координаты рациональны, счетно.

Следствие 2.

Множество многочленов с целыми коэффициентами счетно.

Теорема 12. Множество алгебраических чисел счетно [6; 20].

§ 3. Мощность континуума

Теорема 1. Отрезок

несчетен.

Доказательство

Допустим противное.

Пусть отрезок

- счетное множество. Тогда все его точки можно расположить в виде последовательности

(1)

Пусть это сделано, т.е. всякая точка

находится в последовательности (1).

Разделим

на три равные части точками и (рис. 1). Ясно, что точка не может принадлежать всем трем отрезкам , , и хотя бы один из них не содержит ее. Обозначим через тот отрезок, который не содержит (если таких отрезков два, то через называем любой из них).

Рис. 1

Теперь разделим на три равных отрезка отрезок

и обозначим через тот из новых отрезков, который не содержит точки .

Затем делим на три равных отрезка отрезок

и обозначаем через тот из них, который не содержит точки и т.д.

В результате мы получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков

которые обладают тем свойством, что , .