Структура некоторых числовых множеств (стр. 19 из 22)
Т.к.
- предельная точка 
, то любой интервал, содержащий точку 
, содержит хоть одну точку множества , отличную от , т.е. 
, 
. (**)Из (*) и (**) получаем противоречие.
Значит
, множества 
- замкнуты.Утверждение доказано.
Замечание. Аналогичным образом можно доказать, что, если
непрерывная функция, заданная на 
, то множество точек, в которых 
, при любом 
замкнуто.Задача №2
Если функция
, заданная на , такова, что множества 
и 
при любом замкнуты, то - непрерывна.Доказательство
Допустим противное.
Пусть
- разрывная функция на 
, т.е. 
, т.е. 
.Рассмотрим множество
= 
. 
- замкнуты 
по условию задачи,следовательно
- замкнуто.Пусть
, выберем последовательность точек следующим образом 
, 
; 
, 
; 
, 
;…
, 
(рис. 4).(Если
, то рассматриваем окрестности 
, 
)
Рис. 4
Предположим, что этот процесс проведен для всех натуральных
, тогда получаем последовательность точек множества : 
, 
,…, 
…, при этом 
. Значит 
- предельная точка множества .Множество
- замкнуто, значит 
, следовательно 
, что невозможно. Значит 
непрерывная функция.Утверждение доказано.
Задача №3
Доказать, что множество внутренних точек любого множества открыто.
Доказательство
Пусть
- некоторое множество, 
- множество всех внутренних точек А.Выберем произвольно точку
, тогда 
I – интервал, 
.Так как любая точка
интервала содержится в А вместе с данным интервалом, то каждая точка интервала I является внутренней точкой множества А, т.е. 
, 
, следовательно 
.Получаем
, I – интервал, 
, следовательно множество В – открыто.