Структура некоторых числовых множеств (стр. 17 из 22)
1)
, 2) 
, 3) 
, 4) 
где
замыкание интервала 
, 
длина .Так как
есть предельная точка множества 
, то интервал 
бесконечное множество точек . Выберем среди них две различные точки 
и 
и построим такие интервалы 
и 
такие, чтобы при 
было1)
, 2) 
, 3) 
, 4) 
.Аналогичное построение будет выполнено, исходя из точки
.В результате у нас будут построены точки
и интервалы 
такие, что:1)
, 2) 
, 3) 
, если 
, 4) 
.Продолжаем процесс построения дальше. После
ого шага у нас будут построены точки 
и интервалы 
такие, что1)
,2)
,3)
(если 
).4)
.Так как каждая точка
есть предельная точка множества 
, то можно найти в множестве 
две различные точки 
и 
и построить интервалы 
и 
такие, что (при 
)1)
,2)
,3)
,4)
.Предположим, что этот процесс проведен для всех натуральных
. Соотнесем каждой бесконечной последовательности 
точку 
, являющуюся единственной точкой пересечения последовательности вложенных отрезков 
Легко видеть, что точки
и 
, отвечающие двум различным последовательностям и 
различны.В самом деле, если
есть наименьшая из тех 
, для которых 
, то 
, 
, …, 
, 
и отрезки 
и 
не пересекаются, откуда и следует, что 
Пусть
, тогда 
по теореме 8 (стр. 15). Но легко видеть, что 
, откуда следует, что 
. Но с другой стороны, ясно, что 
, откуда 
.Теорема доказана
Следствие 1. В любой окрестности точки, принадлежащей непустому совершенному множеству
, содержится несчетное множество точек, принадлежащих множеству .Определение 1. Точка
называется точкой конденсации множества 
, если всякий интервал 
, содержащий эту точку, содержит несчетное множество точек Е.Замечание. Очевидно, что всякая точка конденсации какого-либо множества является его предельной точкой.
Теорема 2. (Э. Линделёф). Если ни одна из точек множества Е не является его точкой конденсации, то множество Е разве лишь счетно.
Доказательство
Назовем интервал
«правильным», если 1) его концы 
и 
рациональны; 2) в этом интервале содержится разве лишь счетное множество точек множества Е. Очевидно, что «правильных» интервалов существует разве лишь счетное множество, так как вообще существует только счетное множество пар рациональных чисел.