Структура некоторых числовых множеств (стр. 15 из 22)

Докажем, что

От противного, пусть это не так. Тогда существует такая точка

, что . Но из этих соотношений вытекло бы, что , , а это противоречит самому определению точки , следовательно .

Итак, для точки

установлено три свойства:

1)

, 2) , 3)

Аналогично доказывается существование точки

со свойствами:

1)

, 2) , 3) .

Отсюда следует, что

составляющий интервал множества , содержащий точку . Теорема доказана.

Замечание. Из доказанной теоремы следует существование составляющих интервалов у каждого непустого, ограниченного, открытого множества

Теорема 2. Если

и два составляющий интервала одного и того же открытого множества G, то они или тождественны, или не пересекаются.

Доказательство.

Допустим противное

Пусть существует точка

общая обоим интервалам и , , . Предположим, что . Тогда, очевидно, , но это невозможно, так как . Значит .

Но так как

и совершенно равноправны, то по тем же соображениям , а тогда .

Аналогично устанавливается, что

, откуда следует, что интервалы и тождественны.

Теорема доказана.

Следствие 1. Множество различных составляющий интервалов непустого ограниченного открытого множества

конечно или счетно.

Доказательство

Если мы выберем в каждом из этих интервалов по рациональной точке, то множество составляющих интервалов окажется поставленным во взаимнооднозначное соответствие с ю множества

всех рациональных чисел.

Следствие доказано.

Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое множество

представимо в форме суммы конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов

,

концы которых не принадлежат множеству

, т.е. .

Верно и обратное: всякое множество, представимые в форме суммы интервалов, открыто.

Замечание. Условие ограниченности множества

может быть опущено, при этом в качестве составляющий интервалов дополнительно следует рассмотреть интервалы вида , и .

Теорема 4. Пусть

непустое ограниченное открытое множество и - интервал, содержащийся в . В таком случае среди составляющихся интервалов множества найдется такой, который содержит в себе интервал .

Доказательство

Пусть

. Тогда , и среди интервалов, составляющих множество , найдется такой интервал , что .

Допустим, что

, получим, что , а это невозможно, потому что . Значит . Аналогично можно убедится, что , а тогда .

Теорема доказана

Теорема 5. Непустое ограниченное замкнутое множество

или является отрезком, или получается из некоторого отрезка удалением конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат множеству .

Доказательство

Пусть

такое множество и наименьший отрезок, содержащий . Множество открыто. Если это множество не пусто, то к нему применима теорема 3 (стр. 40).

Теорема доказана.

Замечание. Верно также обратное утверждение: всякое множество, получаемое из отрезка удалением некоторого множества интервалов, - замкнуто.

Определение 2. Составляющие интервалы множества

называются дополнительными интервалами множества .

Теорема 6. Пусть

непустое ограниченное замкнутое множество и наименьший отрезок, содержащий . Тогда

1. Точка

, являющаяся общим концом двух дополнительных интервалов , есть изолированная точка .

2. Если точка

(или ) есть конец одного из дополнительных интервалов , то она изолированная точка .