Следствие 3. Если точка

и замкнутое множество

таковы, что

, то

.
Теорема 2. Если замкнутое множество А непустое и отлично от всей числовой прямой R, то оно не может оказаться открытым.
Доказательство
Допустим противное
Пусть

, А замкнуто и А открыто. Тогда таково же и его дополнение

. Пусть

отрезок, содержащий точки обоих множеств А и В. Обозначим через

и

точки, для которых

, и положим

. Тогда

и одно из соотношений

выполняется. Пусть хотя бы

. Тогда

, что неверно, так как

.
Теорема доказана
Для доказательства одной из важных теорем «отделимости» понадобиться несколько лемм.
Лемма 1. Пусть А непустое точечное множество и

. Положим

Тогда

и В есть открытое множество.
Доказательство
Включение

очевидно.
Докажем, что множество В открыто. Пусть

. Тогда

и в А найдется такая точка

, что

. Положим

и покажем, что интервал

содержится в В. Отсюда будет следовать, что

внутренняя точка В, а, стало быть В открыто.
Возьмем произвольную точку

. Тогда

, и так как

, то

. Значит,

, и тем более

, значит

. Таким образом, действительно

.
Лемма доказана
Лемма 2
Пусть

и

два непустых множества, причем

.
Положим

,

Тогда

Доказательство
Допусти противное.
Пусть

и

. Тогда

,

, и найдутся точки

и

такие, что

,

, откуда

, значит

, что невозможно.
Лемма доказана
Теорема 3. (Свойство отделимости). Пусть

и

два взаимно не пересекающихся непустых замкнутых ограниченных множества. Существуют открытые множества

и

такие, что

,

,

Доказательство
По следствию 1 (стр. 36) имеем

.
Положим

и применим леммы 1 и 2 (стр. 37).
Теорема доказана
Замечание. Условие ограниченности множеств

и

можно снять без нарушения справедливости теоремы. А условие замкнутости обоих множеств существенно, что видно хотя бы из примера

§ 5. Структура открытых и замкнутых ограниченных множеств
Определение 1. Пусть

открытое множество. Если интервал

содержится в

, но его концы этому множеству не принадлежат

то мы будем называть этот интервал составляющим интервалом множества

.
Теорема 1. Если

есть непустое ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому его составляющему интервалу.
Доказательство
Пусть

. Положим

. Каждое из множеств

и

замкнуто, а поэтому множество

также замкнуто.
Кроме того, поскольку

ограничено,

не пусто.
Наконец, ни одна точка множества

не лежит левее точки

, так что множество

ограничено снизу. В таком случае в этом множестве есть самая левая точка

, причем,

. Но

, значит

, так что

, то есть

. Так как

, значит

.