Теорема доказана
§ 4. Расстояния и отделимость.
Определение 1. Пусть

и

две точки числовой прямой. Число

называется расстоянием между точками

и

и обозначается через

.
Замечание. Очевидно, что

=

, и что

.
Определение 2. Пусть

некоторая точка и

непустое точечное множество. Точная нижняя граница расстояний между

и точками множества

называется расстоянием между точкой

и множеством

и обозначается через

или

.
Замечание. Очевидно,

всегда существует и не отрицательно. Если

, то

, но обратное утверждение было бы неверно. Например, если

, а

, то

, но

.
Определение 3. Пусть

и

два непустых точечных множества. Точная нижняя граница расстояний между точками множества

и точками множества

называется расстоянием между множествами

и

и обозначается через

Замечание. Очевидно, что

существует всегда и что

. Если множества

и

пересекаются, то

, но обратное утверждение неверно. Например, если

,

, то

, но

.
Замечание. Расстояние между точкой

и множеством Е есть не что иное, как расстояние между множеством Е и множеством

, единственной точкой которого является

Теорема 1. Пусть

и

два непустых замкнутых множества, причем хоть одно из них ограничено. Тогда существуют такие точки

,

, что

.
Доказательство
По определению точной нижней границы, для каждого натурального

существуют две точки

,

такие, что

По условию одно из множеств

и

ограничено. Допустим, например, что это А. Тогда ограничена последовательность

и по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее выделяется сходящаяся подпоследовательность

,

. В силу замкнутости множества А, точка

должна принадлежать этому множеству,

.
Рассмотрим последовательность
Если

, то

Отсюда видно, что последовательность

тоже ограничена и значит из нее выделяется подпоследовательность

, имеющая предел,

. При этом, благодаря замкнутости множества В, будет

. Нетрудно видеть, что

Теорема доказана.
Замечание. Данная теорема становится неверной, если оба множества А и В не ограничены. Например, пусть

и

(

). Оба эти множества замкнуты

и

, но так как

, то двух точек

,

, для которых было бы

, не существуют. Ясно также, что если хоть одно из множеств

и

не замкнуто, то теорема также неверна, что видно хотя бы из примера

где

Следствие 1. Если А и В замкнуты, хоть одно из них ограничено и

, то А и В пересекаются.
Следствие 2. Пусть

произвольная точка и

непустое замкнутое множество. Тогда в

есть точка

, для которой

.