Покажем, что точка

принадлежит нашему множеству

. С этой целью выберем в множестве

точку

, затем в (бесконечном) множестве

выберем точку

, отличную от

, затем в множестве

выберем точку

, отличную от

, ни от

, и так далее.
В результате мы получим последовательность

, различных точек множества

, причем

. Но тогда, очевидно,

, так что

есть предельная точка множества

. Но так как множество

замкнуто, значит, действительно

.
Так как множество

покрыто системой

, то в системе

существует интервал

такой, что

. Если

достаточно велико, то очевидно

и тем более

, то есть множество

покрывается одним интервалом из

, а это противоречит самому определению отрезка

.
Теорема доказана
Замечание. Теорема перестает быть верной, если отбросить условие ограниченности или условие замкнутости множества

. Рассмотрим множество N всех натуральных чисел. Оно замкнуто (так как N’=0), но неограниченно. Рассмотрим систему

всех интервалов вида

, (n=1,2,3,…) покрывающую множество N. Так как каждый из интервалов системы

содержит только одну точку множества N, то ясно, что никакая конечная система этих интервалов не в состоянии покрыть бесконечного множества N. Итак, условие ограниченности существенно.
Рассмотрим другое множество Е всех чисел вида

:

Это множество ограничено, но не замкнуто. Построим около каждой точки

интервал

, содержащий эту точку, но настолько малый, чтобы он не содержал никакой другой точки множества

, и обозначим через

систему всех интервалов

. Ясно, что система

покрывает множество Е, но те же соображения, что и в предыдущем примере, показывают, что

не покрывается никаким подмножеством

. Значит, условие замкнутости также существенно.
Теорема 8. Пусть Р замкнутое множество и

последовательность точек

Если

, то

Доказательство
Если последовательность

содержит бесконечное множество различных точек, то

есть предельная точка Р и

, если же в последовательности

лишь конечное число различных точек, то, как легко понять, все члены последовательности, начиная с некоторого, совпадают с

и

§ 3. Внутренние точки и открытые множества
Определение 1. Точка

, называется внутренней точкой множества E, если существует содержащий эту точку интервал

, целиком содержащийся в множестве
E

Замечание. Из самого определения ясно, что внутренняя точка множества Е принадлежит этому множеству.
Определение 2. Множество Е называется открытым, если все его точки есть внутренние точки.
Примеры:
1) Всякий интервал

есть открытое множество;
2) Множество всех действительных чисел открыто;
3) пустое множество 0 открыто;
4) Отрезок

не является открытым множеством, так как его концы не являются внутренними точками.
Теорема 1. Сумма любого множества открытых множеств есть множество открытое.
Доказательство
Пусть

где все множества

открыты. Пусть

, тогда

, при некотором

. Так как

открытое множество, то существует такой интервал

, что

, но тогда

, следовательно

- внутренняя точка

. Так как

произвольная точка множества

, то теорема доказана.
Следствие 1. Любое множество, представимое в форме сумме интервалов, открыто.
Теорема 2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.
Доказательство
Пусть

где все

открыты.
Если

пусто, теорема доказана.
Допустим, что

не пусто, и пусть

. Тогда

1, 2, …,

и для каждого

1, 2, …,

найдется интервал

такой, что

. Пусть

и

. Тогда очевидно

, то есть

внутренняя точка

.