Общий случай исчерпывается способом математической индукции.
Замечание. Сумма бесконечного множества замкнутых множеств может и не быть замкнутым множеством. Рассмотрим множества

.
Все

- замкнуты, но их сумма

не замкнута.
Теорема 5. Пересечение любого множества замкнутых множеств есть множество замкнутое.
Доказательство
Пусть

- замкнутые множества (отмечены знаком

для отличия друг от друга) и

- их пересечение. Тогда

, откуда следует

и тем более

. Так как это верно при любом

, то

, то есть

.
Теорема доказана
Лемма 1. Пусть множество Е ограничено сверху (снизу) и

(

), тогда

(

).
Доказательство
Если

, то и подавно

Допустим же, что

. Так как при каждом е>0 существует такая точка

, что

, то любой интервал, содержащий точку

, содержит и точки множества

, которые, очевидно, отличны от

, так как

. Значит,

это предельная точка множества

, стало быть,

.
Итак, всегда

.
Лемма доказана.
Теорема 6. В ограниченном сверху (снизу) замкнутом множестве F есть самая правая (самая левая) точка.
Доказательство
Действительно, пусть

. Тогда по лемме

.
Теорема доказана.
Определение 2. Пусть

- точечное множество, а

- некоторая система интервалов. Если для каждого

существует интервал

такой, что

, то говорят, что множество

покрыто системой интервалов

.
Теорема 7. (Э. Борель). Если замкнутое ограниченное множество

покрыто бесконечной системой интервалов

, то из последней можно извлечь конечную систему

, также покрывающую множество

.
Доказательство
Допустим противное.
Пусть из

нельзя извлечь никакой конечной системы интервалов, покрывающей множество F (отсюда, между прочим, вытекает, что множество

бесконечно).
Заключим F в некоторый отрезок

, поскольку F ограничено, и положим

Не может оказаться, чтобы каждое из множеств

и

могло быть покрыто конечный числом интервалов системы

, потому что в этом случае и все множество

покрывалось бы конечным числом этих интервалов. Значит, хотя бы одни из отрезков

и

содержит подмножество

, которое не может быть покрыто конечным подмножеством

. Обозначим через

тот из отрезков, который содержит такое подмножество

. При этом, если оба отрезка

и

содержат такие подмножества

, которые не могут быть покрыты конечными подмножествами

, то через

обозначим только одни из них, какой - безразлично. Ясно, что множество

бесконечно.
Положим теперь

и обозначим через

тот из отрезков

и

, который содержит подмножество множества

, которое не может быть покрытым конечным числом интервалов системы

.
В том, что хотя бы один из отрезков

и

этим свойством обладает, мы убеждаемся так же, как и выше (если они оба им обладают, то через

мы обозначим только одни из них).
Продолжая этот процесс, мы построим последовательность вложенных отрезков

, обладающих тем свойством, что ни одно из множеств

(

) не может быть покрыто конечным числом интервалов системы

(и, стало быть, каждое из этих множеств бесконечно).
Так как длина отрезка

, равная

, с возрастанием

стремится к нулю, то тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существтует точка х
0, общая для всех отрезков

, причем

.