Теоремы Силова (стр. 1 из 4)
ВВЕДЕНИЕ
Строение абелевых групп во многом определяется строением максимальных р-подгрупп. В теории конечных групп максимальные подгруппы также играют существенную роль. Теорема, доказанная норвежским математиком Л. Силовом в 1872 году, явилась краеугольным камнем теории конечных групп. Она неоднократно обобщалась в разных направлениях как в нашей стране (С. А. Чунихин и др.), так и за рубежом (Ф. Холл и др.). В связи с этой теоремой и в честь ее автора максимальные р-подгруппы конечных (а часто и бесконечных) групп называются силовскими р-подгруппами. Проблема нахождения силовской подгруппы данной группы является важной задачей вычислительной теории групп. Для групп перестановок Уильям Кантор доказал, что силовская p-подгруппа может быть найдена за время, полиномиальное от размера задачи (в данном случае это порядок группы, помноженный на количество порождающих элементов).
Говорят, что группа G действует на множестве М, если для каждых элементов
, 
определен элемент 
, причем 
и me=m для всех , 
; здесь e — единица группы G. Множество 
называется орбитой элемента m. Очевидно, орбиты любых двух элементов из М либо совпадают, либо не пересекаются, так что множество М разбивается на непересекающиеся орбиты. Людвиг Силов (норв. Peter Ludvig Mejdell Sylow — фонетически правильней транслитерация «Сюлов»; 1832—1918) — норвежский математик. Автор нескольких работ по теории эллиптических функций и по теории групп. С 1858 по 1898 годы был учителем в школе в городе Фредериксхальд. В 1862 году Силов заменил профессора по теории Галуа в университете Христиании, где он поставил задачу, которая привела к наиболее важному результату его жизни — так называемым теоремам Силова, опубликованным в 1872 году.ГЛАВА 1. ТЕОРЕМЫ СИЛОВА
Пусть G – конечная группа, а р – простое число, которое делит порядок G. Подгруппы порядка pt называются р-подгруппами. Выделим из порядка группы G примарный делитель по р, то есть | G | = pns , где s не делится на р. Тогда силовской р-подгруппой называется подгруппа G, имеющая порядок pn. Под N(P) понимается нормализатор подгруппы Р в G.
Теорема 1.(первая теорема Силова).
Силовские р-подгруппы существуют.
Доказательство.
Докажем теорему индукцией по порядку G. При |G| = p теорема верна. Пусть теперь |G| > p. Пусть Z(G) - центр группы G. Возможны два случая:
а) p делит |Z|. Тогда в центре существует циклическая группа
(как элемент примарного разложения центра), которая нормальна в G. Факторгруппа G по этой циклической группе имеет меньший порядок, чем G, значит, по предположению индукции, в ней существует силовская p-подгруппа. Рассмотрим её прообраз в G. Он и будет нужной нам силовской p-подгруппой G.б) p не делит |Z|. Тогда рассмотрим разбиение G на классы сопряжённости:
(поскольку если элемент лежит в центре, то его класс сопряжённости состоит из него одного). Порядок G делится на p, значит, должен найтись класс Ka, порядок которого не делится на p. Соответствующий ему нормализатор имеет порядок pnr, r < s. Значит, по предположению индукции, в нём найдётся силовская p-подгруппа — она и будет искомой.Теорема 2.(вторая теорема Силова).
Всякая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе. Все силовские p-подгруппы сопряжены (т.е. каждая представляется в виде gPg − 1, где g — элемент группы, а P — силовская подгруппа из теоремы 1).
Доказательство
Итак, пусть силовские р-подгруппы в Gсуществуют и Р — одна из них. Пусть, далее,
— произвольная р-подгруппа группы G, не обязательно силовская. Заставим действовать левыми сдвигами на множестве 
левых смежных классов Gпо Р. Длина любой орбиты относительно делит порядок 
, 
. Таким образом, 
где
,... — длины орбит. Так как НОД(m,p) = 1, то хотя бы одна орбита имеет длину pki= 1, т. е. 
(1)для некоторого элемента
. Переписав соотношение (1) в виде 
, мы приходим к заключению, что 
(2)(поскольку
— группа). В частности, если — силовская р-подгруппа, то | | = |Р|, и из (2) следует, что = .Теорема 3(третья теорема Силова).
Количество силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p
и делит порядок G.Доказательство.
Рассмотрим несколько более общую ситуацию. Именно, пусть
, где 
, t может делится на p, и пусть 
- число всех подгрупп порядка 
в G. Оказывается, что имеет место сравнение 
, в частности, G содержит подгруппы любого порядка , s=1,2,…,n и 
.Рассуждаем следующим образом. Действие левыми сдвигами группы G на себе индуцирует действие Gна множестве
всех
-элементных подмножеств 
. Причём 
. Множество 
разбивается на G-орбиты 
, так что 
, 
где
- стационарная подгруппа некоторого представителя 
.Так как
, то 
- объединение нескольких правых смежных классов G по 
. Поэтому 
, откуда 
. В случае 
имеем 
. Равенства 
и 
эквивалентны. Получаем 
( 
- некоторый элемент из G) и, стало быть, 
- подгруппа порядка . Орбита 
исчерпывается некоторым числом левых смежных классов 
группы G по 
.