Теоремы Силова (стр. 2 из 4)

Обратно: каждая подгруппа

порядка приводит к орбите длины t. Различные подгруппы с приводят к различным орбитам , поскольку из следует , откуда и . Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между подгруппами порядка и орбитами длины t. Тогда сравнение записывается как

Где следовало бы написать

, чтобы подчеркнуть зависимость от G.

Если взять за G циклическую группу порядка

, то для неё и поэтому

Так как левые часть сравнений по одному и тому же модулю совпадают, то имеем

А это и даёт искомое сравнение

Получим полезное уточнение теорем Силова.

Теорема 4.

Справедливы следующие утверждения:

1).силовская p-подгруппа P группы G нормальна в G тогда и только тогда, когда

2).конечная группа G порядка

является прямым произведением своих силовских - подгрупп в точности тогда, когда все эти подгруппы нормальны в G.

Доказательство.

1).Все силовские подгруппы, отвечающие данному простому делителю р порядка

, по второй теореме Силова сопряжены, и если P–одна из них, то

нормальна в G

2).Если

- прямое произведение своих силовских подгрупп, то нормальна в G как любой прямой множитель. Значит условие нормальности необходимо.

Пусть теперь

нормальна в G, , т.е. . Заметим, что . Стало быть, , а отсюда для любых имеем

Т.е. элементы

и перестановочны.

Представим, что единичный элемент

записан в виде , где - элемент порядка . Положив и воспользовавшись перестановочностью получим

Но так как а и

взаимно просты, то . Это верно при любом j, и, стало быть, равенство возможно лишь при

С другой стороны, каждый элемент

порядка , записывается в виде , , . Достаточно положить , где показатели определяются условиями

теорема силов конечная группа

,

Если теперь

- другая запись x в виде произведения -элементов, то в силу перестановочности , с различными нижними индексами будем иметь

,

что, как было показано выше, влечёт равенства

, т.е. .

Итак, каждый элемент группы G записывается, и притом единственным образом в виде

.

Замечание

Нормальная силовская p-подгруппа P группы G характеристична в G, т.е. инвариантна при действии любого автоморфизма

. Действительно, , поэтому - силовская р-подгруппа, и, стало быть, , если . Аналоги силовских подгрупп прослеживаются в алгебраических структурах, далёких от конечных групп.

Следствие

Если все делители | G | , кроме 1, после деления на p дают остаток, отличный от единицы, то в G есть единственная силовская p-подгруппа и она является нормальной (и даже характеристической).

Примеры силовских подгрупп.

Пример 1.

Аддитивная группа кольца вычетов

разлагается в прямое произведение своих силовских p-подгрупп, которые являются циклическими подгруппами порядков , если n имеет каноническое разложение n= .

Пример 2.

Силовские p-подгруппы симметрических групп. Как мы знаем,

Каков максимальный показатель e(n), при котором делит n!? В последовательности 1,2,…,n кратными p будут числа p,2p,…,kp, где , поэтому . Так как , то Удобно разложить n по основанию p: , тогда

Рассмотрим сначала группы

, когда n степень p. Пусть в уже найдена силовская p-подгруппа, т.е. подгруппа порядка . Построим по ней в подгруппу порядка . Для этого разобьём переставляемые символы 1,2,…, на последовательные отрезки длины . Если и x – подстановка на символах i-го отрезка, то легко сообразить, что - подстановка на символах (i+1)-го отрезка (сложение по модулю p). Отсюда видно, что подгруппа, порождённая подгруппами , является из прямым произведением, и, стало быть, подгруппа , порожденная подгруппой и элементом с, изоморфна сплетению . Подгруппа - искомая, так как .