Метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений (стр. 1 из 2)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра экономической информатики

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

на тему: «Метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении СЛАУ»

Новосибирск, 2010

Содержание

Введение

1. Математическая постановка задачи

2. Описание программного обеспечения

3. Описание тестовых задач

4. Анализ результатов. Выводы

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В данной работе мы будем исследовать метод квадратных корней для симметричной матрицы при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

В жизни, очень часто приходится описывать состояние различных объектов, в том числе и экономических с помощью математических моделей. После того, как объект описан такой моделью, очень часто необходимо найти его состояние равновесия.

Именно тогда, чтобы найти это состояние, приходится решать систему алгебраических уравнений. В нашем случае система состоит из n линейных уравнений с n неизвестными, и ее можно описать так:

Также данную систему можно записать и в матричном виде:

Тогда мы будем иметь матрицу коэффициентов А:

,

столбец свободных членов уравнений f:

,

и столбец неизвестных х:

.

Чтобы данная СЛАУ имела единственное решение, нужно, чтобы определитель матрицы коэффициентов А не был равен нулю (det(A))¹0.

Данную систему можно решить многими методами. Например, методом Гаусса. Решение этой системы методом Гаусса потребует выполнить

действий,

где n – число неизвестных в уравнении. А это довольно таки трудоемко, особенно при больших порядках числа n.

Еще одним точным методом для решения данных СЛАУ является рассматриваемый в данной работе метод квадратных корней для симметричной матрицы А.

Изучать данный метод мы будем следующим образом. Сначала рассмотрим математическую постановку задачи для метода квадратных корней при решении СЛАУ. В данном разделе будет полностью описана математическая модель метода. Затем рассматривается разработанная реализация данного метода в среде MatLab 7.0. После того, как метод будет реализован, можно провести анализ точности этого метода. Анализ будет основываться на исследовании влияния мерности матрицы А, ее обусловленности, разреженности на точность полученного решения. По результатам исследования будет приведен график зависимости точности полученного решения от мерности матрицы А.

метод решение корень симметричная матрица

1. Математическая постановка задачи

Метод квадратных корней используется для решения линейной системы вида Ах=f(1.1), в которой матрица А является симметричной, т.е. а_ij=a_ji , где (i, j = 1, 2, …, n).

Данный метод является более экономным и удобным по сравнению с решением систем общего вида. Решение системы осуществляется в два этапа.

Прямой ход. Представим матрицу А в виде произведения двух взаимно транспонированных треугольных матриц:

А = Т¢ Т, (1.2)

где

, а .

Перемножая матрицы T¢ и T и приравнивая матрице A, получим следующие формулы для определения t_ij:

(1.3)

После того, как матрица Т найдена, систему (1.1) заменяем двумя эквивалентными ей системами с треугольными матрицами

T¢y = b, Tx = y. (1.4)

Обратный ход. Записываем в развернутом виде системы (1.4):

(1.5)

(1.6)

И из этих систем (1.5) и (1.6) последовательно находим

(1.7)

При вычислениях применяется обычный контроль с помощью сумм, причем при составлении суммы учитываются все коэффициенты соответствующей строки.

Заметим, что при действительных a_ij могут получиться чисто мнимые t_ij. Метод применим и в этом случае.

Метод квадратных корней дает большой выигрыш во времени по сравнению с другими методами (например, методом Гаусса), так как, во-первых, существенно уменьшает число умножений и делений (почти в два раза для больших n), во-вторых, позволяет накапливать сумму произведений без записи промежуточных результатов.

Всего метод квадратных корней требует

операций умножения и деления (примерно в два раза меньше, чем метод Гаусса), а также n операций извлечения корня.

2. Описание программного обеспечения

Метод квадратных корней был реализован через функцию function [e,x]=mkk(a,f) , с входными переменными а и f и выходными e и х, где

а – матрица коэффициентов А,

f – столбец свободных членов,

х – столбец найденных решений,

е – столбец ошибок.

Столбец ошибок вычисляется, как Е=А*х-f.

Текст функции на языке MatLab:

function [e,x]=mkk(a,f)

f=f'; %столбец f переводим в строку

n=size(a,1); % вычисляем мерность матрицы А

if (a==a')

if (det(a)~=0) % проверяем, чтобы система имела единственное решение

if (size(f',1)==n) %проверяем соответствует ли мерность матрицы А мерности вектора f

t=zeros(n); %создаем матрицу элементов T и заполняем ее нулями

t(1,1)=sqrt(a(1,1)); % 1.3

for k=2:n

t(1,k)=a(1,k)/t(1,1);

end

for j=2:n

for i=2:n

if (i==j)

c=0;

for k=1:(i-1)

c=c+t(k,i)^2;

end

t(i,i)=sqrt(a(i,i)-c);

else

if (i<j)

c=0;

for k=1:(i-1)

c=c+t(k,i)*t(k,j);

end

t(i,j)=(a(i,j)-c)/t(i,i);

end

end

end

end

y=zeros(n,1); %1.7 создаемстолбецу

y(1)=f(1)/t(1,1);

for i=2:n

c=0;

for k=1:(i-1)

c=c+t(k,i)*y(k);

end

y(i)=(f(i)-c)/t(i,i);

end

x=zeros(n,1); %создаем столбец точных решений

e=zeros(n,1); % создаем столбец ошибок

x(n)=y(n)/t(n,n); %1.8 вычисляем вектор Х

for i=(n-1):-1:1

c=0;

for k=(i+1):n

c=c+t(i,k)*x(k);

end

x(i)=(y(i)-c)/t(i,i);

e=a*x-f';

end

else

error('Внимание! Ошибка! Размерность матрицы А не соответствует размерности вектора F');

end

else

error('Внимание! Ошибка! Определитель матрицы А равен 0')

end

else

f=f*a';

a=a*a';

if (det(a)~=0) % проверяем, чтобы система имела единственное решение

ifsize(f',1)==n%проверяем соответствует ли мерность матрицы А мерности вектора f

t=zeros(n); %создаем матрицу элементов T и заполняем ее нулями

t(1,1)=sqrt(a(1,1)); % 1.3

for k=2:n

t(1,k)=a(1,k)/t(1,1);

end

for j=2:n

for i=2:n

if (i==j)

c=0;

for k=1:(i-1)

c=c+t(k,i)^2;

end

t(i,i)=sqrt(a(i,i)-c);

else

if (i<j)

c=0;

for k=1:(i-1)

c=c+t(k,i)*t(k,j);

end

t(i,j)=(a(i,j)-c)/t(i,i);

end

end

end

end

y=zeros(n,1);

y(1)=f(1)/t(1,1);

for i=2:n

c=0;

for k=1:(i-1)

c=c+t(k,i)*y(k);

end

y(i)=(f(i)-c)/t(i,i);

end

x=zeros(n,1);

x(n)=y(n)/t(n,n);

for i=(n-1):-1:1

c=0;

for k=(i+1):n

c=c+t(i,k)*x(k);

end

x(i)=(y(i)-c)/t(i,i);

end

else

error('Внимание! Ошибка! Размерность вектора F не соответствует размерности матрицы А');

end

else

error('Внимание! Ошибка! Определитель матрицы А равен 0');

end

end

3. Описание тестовых задач

После того, как функция была разработана, для ее отладки была составлена программа, где задавались матрица А, вектор fи откуда вызывалась написанная функция.

Программа имеет вид:

a=[1 0 0; 0 1 0; 0 0 1];

f=[7;8;9];

[e,x]=mkk(a,f)

Решение для данной программы выдано такое:

e =

0

0

0

x =

7

8

9

Как видим, решение правильное.

Начнем исследование метода квадратных корней. Для начала исследуем влияние мерности матрицы А на точность решения.

Для этого будем последовательно решать СЛАУ, каждый раз увеличивая мерность А. Для этого составим такую программу, которая

а) решит четыре СЛАУ с разными мерностями матрицы А,

б) посчитает четыре точности полученного решения по формуле E₁=max |E_i|,

в) посчитает четыре точности полученного решения по формуле

,

в которых i – количество решенных уравнений

г) построит два графика зависимости точностей полученного решения от мерности матрицы А.

Текст программы:

e1=0;

e2=0;

a=[1 0.42;.42 1]

f=[0.3;0.5]

[e,x]=mkk(a,f)

e1=max(abs(e))

e2=sqrt(sum(power(e,2)))

a=[1 0.42 .54;.42 1 .32; .54 .32 1;]

f=[0.3;0.5;.7]

[e,x]=mkk(a,f)

e1=[e1 max(abs(e))]

e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]

a=[1 0.42 .54 .66;.42 1 .32 .44; .54 .32 1 .22; .66 .44 .22 1]

f=[0.3;0.5;.7;.9]

[e,x]=mkk(a,f)

e1=[e1 max(abs(e))]

e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]

a=[1 0.42 .54 .66 .53;.42 1 .32 .44 .45; .54 .32 1 .22 .41; .66 .44 .22 1 .25; .53 .45 .41 .25 1;]

f=[0.3;0.5;.7;.9;.6]

[e,x]=mkk(a,f)

e1=[e1 max(abs(e))]

e2=[e2 sqrt(sum(power(e,2)))]

mernost=[2 3 4 5];

plot(mernost,e1);

pause;

plot(mernost,e2);

pause

Результат работы программы:

>> head5

a =

1.0000 0.4200

0.4200 1.0000

f =

0.3000

0.5000

e =

0

0

x =

0.1093

0.4541

e1 =

0

e2 =

0

a =

1.0000 0.4200 0.5400

0.4200 1.0000 0.3200

0.5400 0.3200 1.0000

f =

0.3000

0.5000

0.7000

e =

1.0e-016 *

0.5551

0

0

x =

-0.2405

0.3737

0.7103

e1 =

1.0e-016 *

0 0.5551

e2 =

1.0e-016 *

0 0.5551

a =

1.0000 0.4200 0.5400 0.6600

0.4200 1.0000 0.3200 0.4400

0.5400 0.3200 1.0000 0.2200

0.6600 0.4400 0.2200 1.0000

f =

0.3000

0.5000

0.7000

0.9000

e =

1.0e-015 *

-0.0555

0

-0.2220

0

x =

-1.2578

0.0435

1.0392

1.4824

e1 =

1.0e-015 *

0 0.0555 0.2220

e2 =

1.0e-015 *

0 0.0555 0.2289

a =

1.0000 0.4200 0.5400 0.6600 0.5300

0.4200 1.0000 0.3200 0.4400 0.4500

0.5400 0.3200 1.0000 0.2200 0.4100

0.6600 0.4400 0.2200 1.0000 0.2500

0.5300 0.4500 0.4100 0.2500 1.0000