Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра (стр. 5 из 7)

Теорема 7. [6, c.58] Пусть функция

является аналитической в области

и непрерывной в замкнутой области

. Тогда во внутренних точках области

существует производная любого порядка функции

, причем для нее имеет место формула

(20)

Для доказательства этой теоремы достаточно повторить предыдущие рассуждения соответствующее число раз. Итак, если функция

является аналитической функцией в области , то в этой области функция обладает непрерывными производными всех порядков. Это свойство аналитической функции комплексной переменной существенным образом отличает ее от функции действительной переменной, имеющей непрерывную первую производную в некоторой области. В последнем случае из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных.

Рассмотрим ряд важных следствий установленного свойства аналитической функции комплексной переменной.

Теорема 8(Морера). [6, c.59]Пусть функция

является непрерывной в односвязной области

и интеграл от

по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему

, равен нулю. Тогда

является аналитической функцией в области

.

Доказательство. Было доказано, что при условиях теоремы функция

,

где

, - произвольные точки области , а интеграл берется по любому пути, соединяющему эти точки в области , является аналитической в этой области функцией, причем . Но, как только что было установлено, производная аналитической функции также является аналитической функцией, т. е. существует непрерывная производная функции , а именно функция , что и доказывает теорему.

Отметим, что теорема 1.10 является в определенном смысле обратной по отношению к теореме Коши. Ее легко обобщить и на многосвязные области.

Теорема 9(Лиувилля). [6, c.59] Пусть на всей комплексной плоскости функция

является аналитической, а ее модуль равномерно ограничен. Тогда эта функция

тождественно равна постоянной.

Доказательство. Запишем значение производной

в произвольной точке по формуле (18):

,

причем будем вести по окружности некоторого радиуса

с центром в точке . т.е. . По условию теоремы существует такая константа , что независимо от . Поэтому

.

Так как радиус

можно выбрать сколь угодно большим, а не зависит от , то . В силу произвольности выбора точки заключаем, что на всей комплексной плоскости. Отсюда следует, что .

3.3 Вывод формулы Коши

Пусть функция

является аналитической в односвязной области , ограниченной контуром . Возьмем произвольную внутреннюю точку и построим замкнутый контур , целиком лежащий в и содержащий точку внутри себя. Рассмотрим вспомогательную функцию

(21)

Функция

, очевидно, является аналитической функцией всюду в области , за исключением точки . Поэтому, если мы в области возьмем такой замкнутый контур , лежащий внутри , чтобы точка попала внутрь области, ограниченной контуром , то функция будет аналитической в двухсвязной области , заключенной между контурами и . Согласно теореме Коши интеграл от функции по кривой равен нулю:

Изменив направление интегрирования во втором интеграле, это равенство можно переписать в виде

(22)

Поскольку интеграл, стоящий слева, не зависит от выбора контура

то этим свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Для дальнейших рассмотрений удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность некоторого радиуса с центром в точке (Рис. 1). Положив ,имеем.

Последний интеграл преобразуем следующим образом:

(23)