Интегрирование и дифференцирование интегралов, зависящих от параметра (стр. 4 из 7)

a) Функция

при любом значении является аналитической функцией в области .

b) Функция

и ее производная являются непрерывными функциями по совокупности переменных при произвольном изменении в области и на кривой ;

Условие (

) означает, что действительная и мнимая части функции непрерывны по совокупности переменных .

Очевидно, что при сделанных предположениях интеграл от функции

по кривой существует при любом и является функцией комплексной переменной

(14)

Естественно поставить вопрос о свойствах функции

. Оказывается, что при сделанных предположениях относительно функции функция является аналитической функцией комплексной переменной в области , причем производную функции можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла.

Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим криволинейный интеграл

.

Так как, по предположению, функции

и обладают частными производными по и , непрерывными по совокупности переменных, то частные производные функции по переменным , существуют и их можно вычислить при помощи дифференцирования под знаком интеграла (14):

Сами функции

и являются непрерывными функциями переменных , в области . На основании аналогичных свойств функции и используя условия Коши-Римана для функции , получим

(15)

Таким образом, для

выполнены условия Коши-Римана (частные производные функции и непрерывны и связаны соотношениями (15)), что и доказывает аналитичность в области .

Заметим, что

(16)

Отсюда следует возможность вычисления производной от интеграла путем дифференцирования подынтегральной функции по параметру. При этом, если

удовлетворяет тем же условиям ( ) и ( ), что и , то также является аналитической функцией в области .

3.2 Существование производных всех порядков у аналитической функции

Рассмотренное свойство интегралов, зависящих от параметра, позволяет установить важные характеристики аналитических функций. Как мы видели, значение функции

, аналитической в некоторой области , ограниченной контуром , и непрерывной в замкнутой области , во внутренних точках этой области моет быть выражено через граничные значения с помощью интеграла Коши:

.(17)

Рассмотрим в области

некоторую замкнутую подобласть , расстояние всех точек которой от границы области больше некоторого положительного числа . Функция

является аналитической функцией

в области причем ее частная производная в этой области является непрерывной функцией своих аргументов. Тем самым в силу общих свойств интегралов, зависящих от параметра, во внутренних точках области производная может быть представлена в виде

(18)

Интеграл (18) является интегралом, зависящим от параметра, причем его подынтегральная функция обладает теми же свойствами, что и подынтегральная функция интеграла (17). Следовательно,

является аналитической функцией в области причем для ее производной справедлива формула

.(19)

Так как для любой внутренней точки

области может быть построена соответствующая замкнутая подобласть то формулы (18) и (19) справедливы в любой точке . Имеет место и более общая теорема.