Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат (стр. 1 из 6)

Курсова робота: Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат

Зміст

Розділ 1

1. Упорядковані множини

2. Ґрати

3. Дистрибутивні ґрати

4. Топологічні простори

Розділ 2

1. Верхні напівґрати

2. Стоуновий простір

Висновок

Список літератури

Розділ 1

1. Упорядковані множини

Визначення: Упорядкованою множиною

називається непуста множина, на якої визначене бінарне відношення , що задовольняє для всіх наступним умовам:

1. Рефлективність:

.

2. Антисиметричність: якщо

й , те .

3. Транзитивність: якщо

й , те .

Якщо

й , то говорять, що менше або більше , і пишуть або .

Приклади впорядкованих множин:

Множина цілих позитивних чисел, а

означає, що ділить .

Множина всіх дійсних функцій

на відрізку й

означає, що для .

Визначення: Ланцюгом називаєтьсявпорядкована множина, на якої для

має місце або .

Використовуючи відношення порядку, можна одержати графічне подання будь-якого кінцевого впорядковання множини

. Зобразимо кожний елемент множини у вигляді невеликого кружка, розташовуючи вище , якщо . З'єднаємо й відрізком. Отримана фігура називається діаграмою впорядкованої множини .

Приклади діаграм упорядкованих множин:

2. Ґрати

Визначення: Верхньою гранню підмножини

в упорядкованій множині називається елемент із , більший або рівний усіх з .

Визначення: Точна верхня грань підмножини

впорядкованої множини – це така іі верхня грань, що менше будь-який інший іі верхньої грані. Позначається символом і читається «супремум X».

Відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна верхня грань існує, то вона єдина.

Поняття нижньої грані й точної грані (яка позначається

й читається «інфинум»). Також, відповідно до аксіоми антисиметричності впорядкованої множини, якщо точна нижня грань існує, то вона єдина.

Визначення: Ґратами

називається впорядкована множина , у якому будь-які два елементи й мають точну нижню грань, позначувану , і точну верхню грань, позначувану .

Приклади ґрат:

1. Будь-який ланцюг є ґратами, тому що

збігається з меншим, а з більшим з елементів .

2.

Найбільший елемент, тобто елемент, більшого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають

, а найменший елемент, тобто меншого або рівний кожного елемента впорядкованої множини, позначають .

На ґратах можна розглядати дві бінарні операції:

- додавання й

- добуток

Ці операції мають наступні властивості:

1.

, ідемпотентність

2.

, комутативність

3.

,

асоціативність

4.

,

закони поглинання

Теорема. Нехай

- множина із двома бінарними операціями

, що володіють властивостями (1) – (4). Тоді відношення

(або

) є порядком на

, а виникаюча впорядкована множина виявляється ґратами, причому:

Доказ.

Рефлективність відносини

випливає із властивості (1). Помітимо, що воно є наслідком властивості (4):

Якщо

й , тобто й , те в силу властивості (2), одержимо . Це означає, що відношення антисиметричне.