Далі,

, тому

для деяких

і

. Як і колись

. Крім того

, тому

- нижня грань елементів
a і
b, що не лежить в
P. :
Надалі, через

будемо позначати дистрибутивні верхні напівґрати з нулем, через

множину всіх простих ідеалів напівґрати

.
Множини виду

представляють елементи напівґрат

у ч.в. множині

(тобто

). Зробимо всі такі множини відкритими в деякій топології.
Позначимо через

топологічний простір, певний на множині

. Простір
SpecL будемо називати
стоуновим простором напівґрат
L.Лема 3: Для будь-якого ідеалу I напівґрати L покладемо:
Тоді множини виду
вичерпують всі відкриті множини в стоуновом просторі SpecL. Доказ.
Потрібно перевірити виконання аксіом топологічного простору.
1) Розглянемо ідеал, утворений 0. Тоді

,
але 0 лежить у будь-якому ідеалі, а значить

.
2) Візьмемо довільні ідеали

й

напівґрати

й розглянемо

Нехай

. Тоді існують елементи
a 
і

Звідси треба, що

, де
L\P – коідеал. По визначенню коідеала існує елемент
d 
такий, що

й

, виходить,

. Так як.

, отже,

. Одержуємо, що

.
Зворотне включення очевидно.
2) Нехай

- довільне сімейство ідеалів. Через

позначимо множину всіх точних верхніх граней кінцевого числа елементів, що є представниками сімейства

. Покажемо, що

- ідеал. Нехай

, тоді

, де

для деякого ідеалу

. Тоді

лежить в ідеалі

, отже,

і

, тобто

. Обернено очевидно.
Довели, що

- ідеал. Тепер розглянемо довільне об'єднання.

■
Лема 4: Підмножини виду
простору
можна охарактеризувати як компактні відкриті множини. Доказ.

Дійсно, якщо сімейство

відкритих множин покриває множина

, тобто

, те

Звідси треба, що

для деякої кінцевої підмножини

, тому

. Таким чином, множина

компактно.

Нехай відкрита множина
r(I) компактно, тоді

й можна виділити кінцеве під покриття

для деяких

.
Покажемо, що I породжується елементом

.
Припустимо, що це не так, і в ідеалі I найдеться елемент b не лежачий в.

Тоді
[b) – коідеал, не пересічний с.

По лемі 2 найдеться простий ідеал
P утримуючий

і не пересічний з
[b). Одержуємо,

, тому що

(тобто

), але

, тому що

, протиріччя. Отже, компактною відкритою множиною
r(I) буде тільки у випадку, якщо

- головний ідеал.
Пропозиція 5:Простір
є
- простором. Доказ.
Розглянемо два різних простих ідеали

й
Q. Хоча б один не втримується в іншому. Допустимо для визначеності, що

. Тоді
r(P) містить
Q, але не містить
P, тобто
SpecL є

- простором. :