Зрозуміло, що

. По дистрибутивності, існують

такі, що

. Т.к.
A – ідеал, те

, тому що

. Аналогічно,

. Т.е.

. Точно також,

. Якщо

, то легко показати, що

.
Довели, що

- ідеал. Очевидно, він є верхньою гранню ідеалів
A і
B. Якщо
C містить
A і
B, то
C буде містити елементи

для будь-яких

, тобто

Тому

, оскільки

є верхньою гранню ідеалів
A і
B і втримується в будь-який верхній грані.
Тепер покажемо, що виконується рівність:

.

. Нехай

, де

,

.

, те

, звідки

й отже

. Аналогічно,

, виходить,

. Нехай

,де

.
Звідси треба дистрибутивність ґрати

.

– дистрибутивні ґрати,

. Тепер розглянемо ідеали, утворені цими елементами:

(

,буде нижньою границею для

). Тому

, що й доводить дистрибутивність напівґрат

. :
2. Стоуновий простір
Визначення: Підмножина

верхніх напівґрат

називається
коідеалом, якщо

з нерівності

треба

й

існує нижня границя

множини

, така, що

.
Визначення: Ідеал

напівґрати

називаються
простим, якщо

й множина

є коідеалом.
Надалі нам буде потрібно лема Цорна, що є еквівалентним твердженням аксіомі вибору.
Лема Цорна. Нехай A – множина й X – непуста підмножина множини P(A). Припустимо, що X має наступну властивість: якщо C – ланцюг в <
>, те
. Тоді X має максимальний елемент. Лема 2: Нехай
– довільний ідеал і
– непустий коідеал дистрибутивних верхніх напівґрат
. Якщо
, то в напівґратах
існує простий ідеал
такий, що
й
. Доказ.
Нехай X – множина всіх ідеалів в L, що містять I і не пересічних з D. Покажемо, що X задовольняє лемі Цорна.
Нехай C – довільний ланцюг в X і

Якщо

, те

для деяких

Нехай для визначеності

. Тоді

й

, тому що

- ідеал. Тому

. Обернено, нехай

, тоді

, для якогось

Одержуємо

, звідки

.
Довели, що M – ідеал, мабуть, що містить I і не пересічний з D, тобто

. По лемі Цорна
X має максимальний елемент, тобто максимальним ідеалом
P серед утримуючих
I і не пересічних з
D.Покажемо, що P – простій. Для цього досить довести, що L\P є коідеалом. Нехай
L\P і

. Оскільки

, те

, інакше в противному випадку

по визначенню ідеалу. Отже,

. Якщо

, то

й

пересічних з
D у силу максимальності
P. Одержуємо

й

для деяких елементів

. Існує елемент

такий, що

й

, по визначенню коідеала, отже

й

для деяких

Помітимо, що

й

не лежать в
P, тому що в противному випадку

.