Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат (стр. 3 из 6)
Визначення: Верхні напівґрати
називаються дистрибутивної, якщо нерівність 
≤ 
( , 
, 
L) спричиняє існування елементів 
, таких, що 
, 
, і = 
.(мал.1). Помітимо, що елементи 
й 
не обов'язково єдині. 
Деякі найпростіші властивості дистрибутивних верхніх напівґрат дає:
Лема 1:
(*). Якщо < , 
> - довільні напівґрати, то верхні напівґрати 
дистрибутивна тоді й тільки тоді, коли ґрати дистрибутивна.
(**). Якщо верхні напівґрати дистрибутивна, то для будь-яких 
існує елемент 
, такий, що 
й 
. Отже, множина 
є ґратами.
(***). Верхні напівґрати дистрибутивна тоді й тільки тоді, коли множина є дистрибутивними ґратами.
Доказ.
(*).
< , > - дистрибутивна й 
, те для елементів 
, 
, справедлива рівність 
: 
виходить, напівґрати <
, 
> - дистрибутивна. 
< , > - дистрибутивна. Нехай ґрати містять діамант або пентагон (мал.2). 
1) Нехай ґрати
містять пентагон, 
. Потрібно знайти такі елементи 
й 
, щоб виконувалася рівність . Але множина елементів менших b або c складається з елементів {0,b,c} і їхня нижня границя не дасть a. Одержали протиріччя з тим, що < , > - дистрибутивна. Виходить, наше припущення невірно й ґрати не містять пентагона.2) Нехай ґрати
містять діамант, . Аналогічно, множина елементів менших b або c складається з елементів {0,b,c}, їхня нижня границя не дасть a. Виходить, ґрати не містять діаманта.Можна зробити висновок, що ґрати
дистрибутивна.(**). Маємо
, тому 
, де 
(по визначенню дистрибутивних напівґрат). Крім того, 
є нижньою границею елементів і 
.Розглянемо ідеали, що містять елемент
і - 
і 
. Тоді 
Ø ,тому що , нижня границя елементів a і b, утримується там.Покажемо, що I(L) – ґрати, тобто існують точні нижня й верхня грані для будь-яких A і B.
Покажемо, що 
збігається з перетинанням ідеалів A і B. По-перше,
- ідеал. Дійсно, 
і 
й 
По-друге, нехай ідеал 
і 
. Тоді 
, тобто - точна нижня грань ідеалів A і B, тобто 
.Тепер покажемо, що
збігається з перетинанням всіх ідеалів 
, що містять A і B. Позначимо 
. Оскільки 
для 
для 
, те C ідеал. По визначенню C він буде найменшим ідеалом, що містить A і B.(***).
Нехай – верхні дистрибутивні напівґрати. Покажемо, що 
.Нехай
, тобто 
(мал.3), для деяких 
