Дослідження топологічного визначення верхніх напівґрат (стр. 2 из 6)
Якщо
й 
, то застосовуючи властивість (3), одержимо: 
, що доводить транзитивність відносини 
.Застосовуючи властивості (3), (1), (2), одержимо:
, 
.Отже,
і 
Якщо
й 
, то використовуючи властивості (1) – (3), маємо: 
, тобто 
По визначенню верхньої грані переконаємося, що
Із властивостей (2), (4) випливає, що
й 
Якщо
й 
, то по властивостях (3), (4) одержимо: 
Звідси по властивостях (2) і (4) треба, що
, тобтоТаким чином,
. :Нехай
ґрати, тоді її найбільший елемент 
характеризуються одним із властивостей:1.
2.
.Аналогічно характеризується найменший елемент
:1.
2.
.3. Дистрибутивні ґрати
Визначення: Ґрати
називаються дистрибутивної, якщо для 
виконується:1.
2.
У будь-яких ґратах тотожності (1) і (2) рівносильні. Доказ цього факту втримується в книзі [1], стор. 24.
Теорема: Ґрати з 0 і 1 є дистрибутивною тоді й тільки тоді, коли вона не містить у
Доказ цього факту можна знайти в книзі [2].
Далі під словом “ґрати” розуміється довільні дистрибутивні ґрати з 0 і 1 (причому
).Визначення: Непуста множина
називається ідеалом у ґратах , якщо виконуються умови:1.
2.
Визначення: Ідеал
у ґратах називається простим, якщо
або 
.Ідеал, породжений множиною Н (тобтонайменший ідеал, що містить H), буде позначатися (Н]. Якщо Н = {a}, то замість ({a}] будемо писати (a] і називати (a] головним ідеалом.
Позначимо через I(L) множина всіх ідеалів ґрати L. I(L) будемо називати ґратами ідеалів.
Визначення: Ґрати
й 
називаються ізоморфними (позначення: 
), якщо існує взаємно однозначне відображення 
, називане ізоморфізмом, множини 
на множину 
, таке, що 
, 
.4. Топологічні простори
Визначення:Топологічний простір – це непуста множина
з деякою системою 
виділених його підмножин, що задовольняє аксіомам:Порожня множина й сам простір
належить системі : 
.Перетинання будь-якого кінцевого числа множин з
належить , тобто 
.Об'єднання будь-якого сімейства множин з
належить , тобто 
.Таким чином, топологічний простір – це пари <
, >, де - така множина підмножин в , що й замкнуто щодо кінцевих перетинань і довільних об'єднань. Множини з називають відкритими, а їхнього доповнення в замкнутими.Визначення: Простір називається компактним, якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення: Підмножина простору називається компактним, якщо в будь-якому його відкритому покритті можна вибрати кінцеве підпокриття.
Визначення: Топологічний простір називається
- простором, якщо для будь-яких двох різних його крапок існує відкрита множина, що містить рівно одну із цих крапок.Розділ 2
1. Верхні напівґрати
Визначення: множина називається верхніми напівґратами, якщо sup{a,b} існує для будь-яких елементів a і b.
Визначення: Непуста множина I верхніх напівґрат L називається ідеалом, якщо для будь-яких
включення 
має місце тоді й тільки тоді, коли 
.