Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 8 из 10)

5. Власні значення і власні вектори оператора

Число

називається власним числом лінійного оператора , якщо у просторі можна знайти такий ненульовий вектор , що

(5.1)

Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним вектором оператора

, що відповідає власному значенню .

Рівність (5.1) можна записати по іншому

, де – тотожний оператор. Оскільки – ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора не менше одиниці. Нехай – розмірність простору , в якому діє оператор . Відомо, що . Звісно,

. Але тоді .

Таким чином, якщо число

є власним значенням оператора , то є коренем рівняння (характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора ).

Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння

будуть власними значеннями оператора . Нехай – який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення . Це означає, що матриця оператора буде виродженою у будь-якому базисі простору . Як наслідок, . Так як , то . А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор , такий, що чи . Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння буде власним значенням оператора , тобто вірне твердження.

Теорема 5.1. Для того, щоб комплексне число

було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння .

Нехай

– базис простору и нехай

,

матриця лінійного оператора

у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору оператор характеризується такою матрицею

.

Визначник цієї матриці, тобто

, називається характеристичним або віковим визначником оператора . Легко побачити, що добуток елементів головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені , решта членів визначника будуть многочленами степені не вище . З цього видно, що віковий визначник оператора є многочленом степені . За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора , діючого в -мірному просторі, дорівнює , якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.

Відомо, що в різних базисах простору

матриці оператора , взагалі-то, різні. У зв’язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору , в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі існує базис всі вектори якого є власними векторами оператора , тобто . У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд

.

Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору

матриця лінійного оператора має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора . Таким чином, доведено наступне твердження.

Теорема 5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора

у базисі простору була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори були власними векторами оператора . Теорема 5.3. Якщо власні значення лінійного оператора , діючого в -мірному просторі , різні, тоді відповідні їм власні вектори лінійно незалежні.

Наслідок. Якщо характеристичне рівняння

має різних коренів, то у -мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора має діагональний вид.