Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора (стр. 5 из 10)

Покажемо тепер, що підпростір

є ядром оператора . Нехай який-небудь вектор підпростору . Так як , то це означає, що вектор входить в ядро оператора . Звідси випливає, що підпростір . Для доведення того, що треба показати, що будь-який вектор простору , що не належить підпростору , не може бути елементом ядра оператора . Нехай - вектор простору , який не належить підпростору . Зрозуміло, що хоча б одна із координат цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку . Розглянемо . Так як лінійно незалежні вектори, а серед чисел є відмінні від нуля, то . Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору , не належить і ядру оператора . Отже, .

Теорема 2.6. Нехай

і – два яких-небудь лінійних оператора із множини , тоді , .

Доведення. Нехай

– довільний вектор простору . Зрозуміло, що . Будь-який вектор множини за означенням добутку операторів це вектор . Останній є вектором множини . З цього слідує, що має місце включення . А це означає, що , тобто . Перше твердження теореми доведено.

Доведемо справедливість другого. Нехай

– довільний вектор ядра оператора , тоді , і, тому, . Це означає, що якщо , то , тобто . Звідси випливає нерівність . Позначимо через розмірність простору . Згідно теореми 2.4 , . Так як , то , тобто .

Теорема 2.7. Нехай

– розмірність простору , і – лінійні оператори із , тоді .

3. Матриця лінійного оператора

Нехай

- деякий базис лінійного простору , а – який-небудь лінійний оператор, діючий із в . Вектор оператор перетворює в вектор . Вектори простору розкладемо по векторах базису цього простору. Побудуємо матрицю порядку , стовпці якої складені із координат векторів ,

, , .

Матриця

називається матрицею оператора в базисі .

Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі

простору .

Розв’язок. Тотожний оператор

будь-який вектор простору приводить в той же самий оператор. Тому . А це означає, що матриця тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору . Нульовий оператор будь-який вектор простору перетворює в нульовий вектор, тому матриця цього оператора – нульова в будь-якому базисі.