Потрійний інтеграл (стр. 3 из 3)

і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли

– куля: або кульове кільце. Наприклад, якщо – кульове кільце з внутрішньою сферою , то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд

або

,

звідки

. Аналогічно – рівняння зовнішньої сфери, тому

.

У випадку, коли

– куля , у цій формулі слід покласти . Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.

Приклад

1. Обчислити інтеграл

, якщо область обмежена поверхнями і .

Розв’язання

Область

є конусом (рис. 5).

Рисунок 5 – Область

Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область

, можна записати у вигляді , а саму область подати таким чином: , де – круг радіуса з центром . Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:

.

Проте зручніше перейти до циліндричних координат

. Тоді прообраз круга є прямокутник , прообраз конічної поверхні – плоска поверхня , а прообраз області – область . Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює , підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює . Зводячи потрійний інтеграл за областю до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо

Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область

, а зміну циліндричних координат в області . Наочно видно, що в області змінна змінюється від до , при кожному значенні змінна змінюється від до , а для кожної точки області змінна змінюється в області від (значення в області ) до (значення на конічній поверхні).

4. Деякі застосування потрійного інтеграла

інтеграл потрійний обчислення змінний

1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою

областю

, що має об'єм , то згідно з формулою (4)

.(11)

Застосування у механіці. Нехай

– обмежена замкнена область простору , яку займає деяке матеріальне тіло з густиною , де – неперервна функція в області , тоді:

а)маса цього тіла

;(12)

б)моменти інерції

тіла відносно координатних осей відповідно дорівнюють

.(13)

Моменти інерції

тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами

.(14)

Момент інерції тіла відносно початку координат

(15)

в) статичні моменти

тіла відносно координатних площин обчислюються за формулами

;(16)

г) координати

центра маси тіла визначаються за формулами

.(17)

Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:

.