Потрійний інтеграл (стр. 2 из 3)

.(5)

Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл

за змінною , вважаючи та сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки входу , а верхньою – апліката точки виходу . Внаслідок інтегрування отримаємо функцію від змінних та .

Якщо область

, наприклад, обмежена кривими і , де і – неперервні функції, тобто

, то, переходячи від подвійного інтеграла до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу

,(6)

яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні

і у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.

Якщо, наприклад, область

правильна в напрямі осі :

,

де

– неперервні функції, то

.

Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:

,

то

.(7)

У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область

правильна у напрямі всіх трьох координатних осей .

3. Заміна змінних в потрійному інтегралі

Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область

взаємно однозначно відображується на область за допомогою неперервно диференційовних функцій , , , якобіан в області не дорівнює нулю:

і

– неперервна в , то справедлива формула

. (8)

На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат

до циліндричних (рис.4, а), пов'язаних з співвідношеннями

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:

.(9)

Назва «циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня

є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі .

При переході від прямокутних координат

до сферичних

(рис. 4, б), які пов'язані з

формулами

Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні

;

,

якобіан перетворення

.

З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:

. (10)

Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня

є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область , як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь та , які обмежують область , записують у нових координатах.

Зокрема, якщо область

обмежена циліндричною поверхнею та площинами , то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі: