Теорія і практика обчислення визначників (стр. 2 из 3)

а) 2, 1, 5, 4, 3; б) 6, 3, 2, 5, 1, 4; в) 7, 5, 6, 4, 1, 3, 2;

г) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4; д) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

Dа) 4; б) 10; в) 18; г) 18; д) 36. ▲

2. З'ясувати, які з наведених нижче добутків входять у визначники відповідних порядків і, якщо входять, то з яким знаком:

а) а₄₃а₂₁а₃₅а₁₂а₅₄; б) а₁₃а₂₄а₂₃а₄₁а₅₅;

в) а₆₁а₂₃а₄₅а₃₆а₁₂а₅₄; г) а₃₂а₄₃а₁₄а₅₁а₆₆а₂₅;

д) а₂₇а₃₆а₅₁а₇₄а₂₅а₄₃а₆₂; е) а₃₃а₁₆а₇₂а₂₇а₅₅а₆₁а₄₄;

ж) а₁₂а₂₃а₃₄ …а_{n–1 n} а₂₅а_kk (1 £ k £ n); з) а₁₂а₂₃а₃₄ …а_n-1nа_n1n.

Dа) –; б) не входить у визначник; в) +; г) +; д) не входить у визначник; е) +; ж) не входить у визначник; з) (–1)ⁿ. ▲

3. Вибрати значення i і k так, щоб наступні добутки входили у визначники відповідного порядку із зазначеним знаком:

а) а_1iа₃₂а_4kа₂₅а₅₃ з « + »; б) а₆₂а_i5а₃₃а_k4а₄₆а₂₁ з « – »;

в) а₄₇а₆₃а_1iа₅₅а_7kа₂₄а₃₁ з « + ».

Dа) i = 1, k = 4; б) i = 5, k = 1; в) i = 6, k = 2. ▲

4. Користуючись тільки визначенням, знайти члени визначників, які мають у собі множники х⁴ і х³:

а)

; б) .

Dа) 2х⁴, –х³; б) 10х⁴, –5х³. ▲

5. Знайти члени визначника 4-го порядку а) що містять елемент а₃₂ і входять у визначник зі знаком « + »; б) що містять елемент а₂₃ і входять у визначник зі знаком « – ».

Dа) а₁₁а₂₄а₃₂а₄₃, а₁₃а₂₁а₃₂а₄₄, а₁₄а₂₃а₃₂а₄₁; б) а₁₁а₂₃а₃₂а₄₄, а₁₂а₂₃а₃₄а₄₁, а₁₄а₂₃а₃₁а₄₂. ▲

6. Виписати всі члени визначника 5-го порядку, що мають вигляд

. Що вийде, якщо з їхньої суми винести а₁₄а₂₃ за дужки?

D

. ▲

7. Як зміниться визначник n-гопорядку, якщо всі його стовпці записати в зворотному порядку? DВизначник помножиться на (–1)^(n(n–1))/2. ▲

8. Не розкриваючи визначників, довести, що:

а)

;

б)

;

в)

;

г)

; д) .

Dа) властивості 7, 3; б) властивості 7, 3, 5; в) властивості 7, 3, 5; г) властивість 5;

д) властивість 5. ▲

9. Знайти мінори елементів а₁₃, а₂₄, а₄₃ визначника

.

DМ₁₃ = 24; М₂₄ = – 126; М₄₃ = 52. ▲

10. Знайти алгебраїчне доповнення елементів а₁₄, а₂₃, а₄₂ визначника

.

DА₁₄ = 8; А₂₃ = 0; А₄₂ = – 12. ▲

11. Обчислити визначник, розкриваючи його по 3-му рядку

.

D8a + 15b + 12c – 19d. ▲

12. Обчислити визначник, розкриваючи його по 2-му стовпцю:

.

D5a – 5b – 5c + 5d. ▲

13. Обчислити наступні визначники, знижуючи їхній порядок за допомогою розкладання за елементами деякого рядка або стовпця:

а)

; б) ; в) .

Dа) abcd; б) abcd; в) xyzuv. ▲

14. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а)

; б) ; в) ;

г)

; д) ; е) .

Dа) 0; б) 6; в) 0; г) –2; д) –27; е) –27. ▲

15. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а)

; б) ; в) ;

г)

; д) ; е) .

Dа) –7; б) 0; в) –1; г) 4; д) 40; е) –3. ▲

16. Обчислити наступні визначники 3-го порядку:

а)

; б) ; в) ;

г)

; д) ; е) .

Dа) 100; б) –5; в) 1; г) 2; д) 4; е) –8. ▲

17. Обчислити наступні визначники 3^-го порядку:

а)

; б) ; в) ;

г)

; д) ;

е)

.

Dа) (1 – e³)²; б) abc + x(ab + bc + ac); в) 0; г) –2(x³ + y³); д) 0; е) 0. ▲

18. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а)

; б) ; в) ; г) .

Dа) –7; б) 0; в) –1; г) –18. ▲

19. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а)

; б) ; в) ; г) .

Dа) 1; б) –5; в) 0; г) –3. ▲

20. Обчислити наступні визначники 4-го порядку:

а)

; б) ;

в)

; г) .

Dа) 1; б) 48; в) 1; г)

. ▲

21. Обчислити визначники 4-го порядку:

а)

; б) ; в) ; г) .

Dа) –8; б) –9; в) –6; г) –10. ▲

22. Обчислити визначники 5-го порядку:

а)

; б) . Dа) 52; б) 5. ▲

23. Зведенням до трикутного вигляду обчислити визначники:

а)

; б) ;

в)

; г) .

Dа) n!; б) 2n + 1; в) хⁿ(а₀ + а₁ + … + а_n); г)

. ▲

24. Обчислити визначники методом виділення лінійних множників:

а)

; б) ;

в)

; г) .

Dа) (х – 1)(х – 2)…(х – n +1); б) (x – a – b – c)(x – a + b + c)(x + a – b + c)(x + a + b – c);

в) (х² – 1)(х² – 4); г) x²z², вказівка: визначник не зміниться, якщо 1-й стовпець поміняти місцями з 2-м стовпцем і одночасно 1-й рядок із 2-м рядком; при х = 0 визначник дорівнює 0, аналогічно по z. ▲