Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 1 из 4)
Элементы комбинаторики
При решении вероятностных задач часто приходится в заданном множестве выбирать подмножества, обладающие определенными свойствами. Поскольку в таких задачах речь идет про те или иные комбинации объектов, то их называют комбинаторными задачами.
Множество наз. Упорядоченным, если в нем указан порядок следования элементов. Например
Основные правила комбинаторики
1.Правило суммы
Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nkспосбами. Тогда выбор одного из этих элементов или а1, или а2,…, или аkможно произвести n1+n2+…+nkспособами.
2.Правило произведения
Пусть из множества А элемент а1 можно выбрать n1 способами, элемент а1-n1 способами, а2-n2 способами,…, аk-nkспосбами. Тогда одновременный выбор элементов а1,а2,…,аkможно выбрать n1*n2*…*nkспособами.
Пример
Из 3-ех классов спорт. школы нужно составить команду для соревнований, взяв по одному ученику из класса. Сколько команд можно составить, если в одном классе 18 учеников, в другом-20, в третьем-22.
Решение:n1=18, n2-20, n3=22
n1*n2*n3=18*20*22=7820 способов.
Основные соединения комбинаторики.
1)Размещения
Пусть множество А состоит из nэлементов. Будем выбирать из оттого множества упорядоченные множества, состоящие из kэлементов. Такие подмножества будут называться размещениями из nэлементов по k. Размещения отличаются друг от друга как элементами, так и порядком.
Например , из множества
составим размещения по 2 элемента. 
, 
, 
, 
, 
, 
Число размещений из nэлементов по kобозначают
и вычисляют по формуле: 
; (0!=1)2)Перестановки из nэлементов k
Перестановками из nэлементов по kназывают размещения, у которых n=k. Перестановки отличаются только порядком элементов.
; 
; 
; 
; 
; 
Число перестановок из nэлементов по k(n=k):
3)Сочетания из nэлементов по k
Пусть мн-во А состоит из nэлементов. Из него будем выбирать неупорядоченные подмножества, содержащие kэлементов, которые будут называться сочетаниями из nэлементов k. Сочетания различаются между собой только элементами.
: , , Число сочетаний из nэлементов по k:
Примеры:
1)Студентам нужно сдать сдать 4-ре экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание?
(2,3,7,8) Из множества, содержащего 8 элементов выбираем подмножества по 4 элемента, порядок которых нам не безразличен, следовательно число способов:
2)На 4-ех карточках написаны цифры 0,1,2,3. Сколько различных четырехзначных чисел чисел можно составить из этих карточек?
4!-3!=24-6=18
3)В хоккейном турнире участвует 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр будет сыграно в турнире?
Т.к в выбираемых множествах по 2 элемента из 6, порядок безразличен, то кол-во игр=числу сочетаний из 6 по 2:
4)6 друзей собрались на встречу. Один из них произнес тост: собираться столько лет пока каждый не посидит на новом месте.
Испытания и события. Виды событий
В любой точной науке существуют основные понятия. Если в геометрии это: точка, прямая, плоскость, то в теории вероятности основными понятиями являются испытания, события, вероятность.
Испытание(опыт)-осуществление какого-либо комплекса условий.
Испытанием будет являться бросание игральной кости.
Событие(исход)-результат испытания.
События могут быть достоверными, невозможными, случайными.
Достоверное событие-событие, кот. обязательно произойдет в результате данного испытания.
. Например, при бросании игральной кости выпало число от 1 до 6.Невозможное событие-событие, кот. не может произойти в результате данного испытания. Например, , при бросании
игральной кости выпало 7 очков.
Случайное событие-событие, кот. может произойти, а может не произойти в результате данного испытания. А,В,С,… Например, выпало 6 очков при бросании кости.
Виды случайных событий
Случайные события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого. В противном случае - несовместние.
А - в аудиторию вошел мужчина, В - в аудиторию вошел человек старше 30 лет. А и В - совместные
Стрелок произвел выстрел по цели. А - попадание, В - промах; А и В - несовместные.
Случайное событие называется единственно возможным, если в результате испытания появление одного и только одного из них является достоверным событием. Бросают монету. А - герб, В - надпись.
Случайные события называются равновозможными, если в результате испытания нет оснований считать, что одно из них более возможно, чем другое.
Случайные события называются противоположными, если не появление одного из них влечет появление другого. А,
Совокупность всех единственно возможных событий данного испытания составляет полную группу событий
А1-1 очко
А2-2 очка
А3-3 очка
А4-4 очка Полная группа событий
А5-5 очков
А6-6 очков
Действия над событиями
1)Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в том,
что произошло или событие А, или событие В, или оба вместе, т.е.
произошло хотя бы одно событие. С=А+В “+”-или
Примеры:
1)Соб. А-турист посетил город А
Соб. В-турист посетил город В
Соб. С-турист посетил город С
А+В=С – турист посетил или г. А, или г.В, или оба вместе.
2)При бросании игральной кости:
А-выпало четное число очков
В-выпало число очков, кратное 3-ем
А+В-выпало число очков или четное, или кратное 3-ем
Геометрическая интерпретация суммы событий
Диаграмма Венна
 |
1
Для совместных 
событий  |  |
2
Для несовмест. соб.Произвольным образом бросаем точку на плоскость. Если она попадет в область А, то произошло событие А, если в область В, то-событие В, если попадет в область с двухсторонней штриховкой, то события А и В произошли одновременно. Тогда сумме событий будет соответствовать область, отмеченная жирной линией. В случае несовместных событий сумме А+В будет соответствовать две непересекающиеся области. 2)Произведением событий А и В называется событие С, которое наступает с совместным наступлением А и В. А*В “ * ”-заменяет союз « И »
