Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 2 из 4)
 |
Для произведения соб. 
Аналогично определяются сумма и произведение для нескольких событий.Классическая формула вероятности. Свойства вероятности.
Вероятность является одним из основных понятий в теории вероятностей.
При употреблении этого слова мы интуитивно оцениваем возможность появления того или иного события. Можно сказать, что одно событие наступит чаще, чем другое.
В урне содержится 28 шаров, из них 2 белых, 13 красных, 13 черных. На удачу вынимаем 1 шар. Красный или черный шар можно вытянуть с большей возможностью, а белый – с меньшей. Из этого примера видно, что каждое событие обладает определенной степенью возможности , т.е. некоторой числовой оценкой.
Вероятностью события А называется численная мера объективной возможности его появления. Р=Р(А)
Классической схемой или схемой случаев называется испытание, при котором число исходов (событий) конечно и все из них равновозможные.
Исход испытания (события) называется благоприятствующим событию А, если его появление влечет наступление события А.
Классической вероятностью события А называется отношение числа исходов М, благоприятствующих событию А , к общему числу всех исходов испытания N. Р(А)=M/N
Из определения следуют следующие свойства.
1)Вероятность достоверного события. Р(
)=1 
2)Вероятность невозможного события. Р=03) Вероятность случайного события. 0<P(A)<1
4) Вероятность любого события .
5)Сумма вероятностей противоположных событий =1. Р(А)+Р(Ä)=1
6)Сумма вероятностей полной группы событий=1.
Примеры:
1)Консультационный пункт института получает пакеты с контрольными из городов А,В,С. Вероятность получения пакета из г. А 0,7, из В 0,2. Найти вероятность получения пакета из г. С
А-пакет получен из г. АВ-пакет получен из г. В Полная группа событий
С -пакет получен из г. СР(А)+Р(В)+Р(С)=1
0,7+0,2+Р(С)=1 ; Р(С)=0,1
2)Брошено 2 игральные кости. Найти вероятность того, что 6 очков появится хотя бы на одной грани.
Событие А – 6 очков появилось хотя бы на одной грани
Событие
– появилось число очков не равное 6Р(А)=1 - Р(
)Р(
)=М/NN=6*6=36
M=5*5=25
Р(
)=25/36Р(А)=1 - Р(
)=1-25/36=11/363)На 5 карточках написаны буквы «а, д ,к, л, о». Карточки тщательно перемешивают, а затем выкладывают по одной на стол. Какова вероятность того, что получится слово «лодка»?
Событие А – получилось слово «лодка»
Р=M/N
Р(А)=1/120
5)Набирая номер телефона абонент забыл 3 последние цифры и помня, что они разные набрал, номер телефона. Какова вероятность того, что номер набран верно?
Р(А)=М/N
М=1
Р(А)=1/720
6)В ящике имеется 10 деталей, среди них 7 стандартных. На удачу берем 6.
Какова вероятность того, что среди 6 деталей окажется ровно 4 стандартных?
Соб. А – среди 6 выбранных деталей 4 стандартные.
Р(А)=M/N
7)В ящике лежит 10 заклепок, изготовленных из разного материала: 5 железных, 3 латунных, 2 медных. Наудачу берем 2 заклепки. Какова вероятность того, что они окажутся сделанными из одного материала?
Соб. А – вытащенные заклепки из одного материала.
Р(А)=M/N
Статистическая и геометрическая вероятность
1) Статистическая вероятность.
Классическая формула вероятности дает непосредственно вычислять вероятность, но она предполагает выполнение некоторых условий. Она относится к событиям, обладающих симметрией и образующих полную группу событий. Многие группы событий не подходят под классическую схему, но каждое событие такой группы обладает некоторой возможностью наступления. Например, если игральная кость изготовлена из неоднородного материала, то вероятность появления некоторого числа очков не равна 1/6.
Иногда не удается выделить полную группу событий. Известно много случаев, когда результаты являются непредсказуемыми, хотя изначально все исходы были учтены. В подобных случаях находят относительную частоту события А
; n-число произведенных опытовm-число опытов, в результате которых произошло событие А.
Оказывается, что при
относительная частота неограниченно близко приближается к определенному постоянному числу. Это число и будет называться статистической вероятностью.Результаты опытов при бросании монеты.
n– число испытаний
m– число, соответствующее выпадению герба
2) Геометрическая вероятность
N=D; M=d
Найти вероятность того, что точка, брошенная в треугольник попадет в круг.
Вероятность появления хотя бы одного события.
Задачу из пункта Вероятность суммы событий (Вероятность попадания в цель при стрельбе из
трех орудий: Р1=0,8; Р2=0,7; Р3=0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.)
Можно решить намного быстрее, если применить теорему о вероятности хотя бы одного события. Пусть в результате опыта может появиться nнезависимых в совокупности событий,вероятности которых известны.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из nнезависимых событий А1, А2, …,Аnравна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, т.е.
1, 2,…, n.Р(хотя бы одного события)=1-q1*q2*…*qn
Если
р1=р2=…рn, то Р(хотя бы одн. соб.)=
Вопрос №33.
Вероятность произведения событий.
Два события называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от появления или не появления другого. В противном случае события называются независимыми.
Произведем 2 испытания.7 белых 1) Событие А – появился
3 черных белый шар. Р(А)=0,7
шаров Событие В – появился
черный шар. Р(В)=1/3
А и В – зависимые
Р(В) – условная вероятность
2)А-появился белый шар.Р(А)=0,7 (с возвратом)
В – появился черный шар. Р(В)=0,3
В данном случае
События А1, А2,…, Аnназываются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения остальных событий и от каждого в отдельности.
Из попарной независимости не следует независимость в совокупности.
Если событие А1, А2,…, Аn– независимы, то
1, 2,…, n– независимы.Теорема
Вероятность совместного появления двух зависимых событий = произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.
В урне 7 белых, 3 черных шара. На удачу один за другим выбираем по одному шару без возврата. Найти вероятность того, что первый шар оказался белым, а второй черным.
