Решение задач по высшей математике (стр. 1 из 6)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Решение задач по высшей математике
Задача 1
Вычислить определители:
; 
.Решение
, 
Задача 2
Вычислить определитель:
.Решение
Используя теорему Лапласа, разложим определитель по элементам третьего столбца
.Задача 3
Найти матрицу, обратную к матрице
. 
Решение
Находим определитель матрицы и все алгебраические дополнения
: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
.Ответ: Обратная матрица имеет вид:
.Задача 4
С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы
.Решение
Прибавляя к последней строке учетверенную вторую строку и сокращая затем последнюю строку на
, а после этого складывая последний столбец со вторым и третьим последовательно, получим 
.Знак ~ обозначает, что матрицы получены одна из другой с помощью элементарных преобразований и их ранги равны. Сокращая второй столбец на два и вычитая первый столбец со всех остальных столбцов, а затем вычитая последнюю строку из первой и меняя местами столбцы, получаем
.Ответ: Ранг матрицы равен двум.
Задача 5
Решить следующую систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:
;Решение
Вычислим главный определитель системы
и вспомогательные определители 
, 
, 
. 
. 
; 
; 
.По формуле Крамера, получим
; 
; 
.Задача 6
Исследовать на совместность систему линейных алгебраических уравнений и, в случае положительного ответа, найти её решение.
Решение
Матрица
и 
имеют вид 
, 
.Их ранги равны
. Система совместна. Выделим следующую подсистему 
Считая
и 
известными, решение подсистемы находим по формулам Крамера . Оно имеет вид 
; 
,где
, - могут принимать произвольные значения. Пусть 
, где 
Тогда ответом будет служить множество 
Задача 7
Даны начало
и конец 
вектора 
. Найти вектор 
и его длину.Решение
Имеем
, откуда 
или 
.Далее
, т.е. 
.Задача 8
Даны вершины треугольника
, 
и 
. Найти с точность до 
угол 
при вершине 
.Решение
Задача сводится к нахождению угла между векторами
и 
: 
, 
; 
. Тогда 
, 
.Задача 9
Даны вершины треугольника
, 
и 
. Вычислить площадь этого треугольника.Решение
Так как площадь треугольника
равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т.е. 
, то 
. Найдем векторы и : 
; 
; 
.