Интегрируя по частям, находим

.
Задача 36
Вычислить

.
Решение
Положим

. Подстановка значений

и

в уравнение

дает

и

. Таким образом,

.
Задача 37
Найти

.
Решение
По определению

.
Задача 40
Найти общее решение уравнения

.
Решение
Так как

,
то данное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Заменив в исходном уравнении

, получим уравнение

или

.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив их, получим

,

.
Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

или

.
Подставив

, общее решение исходного уравнения запишем в виде

, а после преобразования

.
Задача 38
Найти область сходимости степенного ряда

.
Решение
Составим ряд из абсолютных величин

,
По признаку Даламбера имеем:

,
следовательно

,

,

, и на интервале

ряд сходится.
Проверим его сходимость на концах интервала:
1) Пусть

. Тогда

- знакочередующийся ряд. Для его анализа применим теорему Лейбница:
Задача 14
Вычислить

с точностью до

.
Решение
Разложив в ряд

и поделив почленно на

, получим:

.
Выбираем функцию

такой, чтобы

.
Тогда

.
Интегрируем и находим

или

.
Подставив найденную функцию в (1), получим ещё одно уравнение

,

,

;

.
Следовательно,

- общее решение заданного уравнения.
Задача 42
Найти общее решение дифференциального уравнения:

.
Решение
Составим характеристическое уравнение

. Так как

и

, то общим решением будет

.
Частное решение неоднородного уравнения

подбирается в зависимости от вида функции

.
1. Пусть

,

, представляет собой многочлен степени

с действительными коэффициентами. Тогда частное решение следует искать в виде:

,
где

- многочлен той же степени, что и многочлен

, но с неизвестными коэффициентами, а

- число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Задача 43
Найти общее решение уравнения

.
Решение
Ищем общее решение в виде

, где

- общее решение соответствующего однородного уравнения,

- частное решение неоднородного уравнения. Так как

- многочлен первой степени

и один корень характеристического уравнения

, то частное решение надо искать в виде

.
Подберем коэффициенты

и

так, чтобы решение

удовлетворяло данному уравнению

,

,

.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества, получим

Следовательно,

, а

- искомое общее решение.
2. Пусть

. Тогда частное решение неоднородного уравнения

, где

- число корней характеристического уравнения, равных

.
Задача 44
Найти общее решение уравнения

.
Решение
Ищем решение в виде

. Решим однородное уравнение

. Корни характеристического уравнения

равны

и

. Следовательно,

. Частное решение ищем в виде

(так как

,

). Найдем

, а

. Подставляя

,

и

в исходное уравнение, получим