Дослідження розвитку теорії ймовірності (стр. 9 из 12)

Теорема.

Якщо послідовність взаємно незалежних випадкових величин

така, що

, те

.

Доказ.

Розглянемо величину

, .

Очевидно, що

й величина обмежена <c, c-деяке число. Застосуємо тепер нерівність Чебишева до :

, або

.

Переходячи до межі одержуємо:

.

Що й було потрібно довести.

У цій роботі Марков доводить, що закон більших чисел застосуємо до

, якщо й зв'язок величин така, що збільшення кожної з них спричиняє зменшення математичних очікувань інших.

Марков зауважує: «до того ж висновку про застосовність закону більших чисел не важко прийти й у випадку, коли математичне очікування

при всякому зменшується зі збільшенням суми «.

Марков розглядає послідовність випадкових величин, зв'язаних у ланцюг. Такі ланцюги залежних величин одержали назву марковських ланцюгів. У цій роботі Марков розглядає простий ланцюг (простий ланцюг маркова – послідовність випадкових величин, кожна з яких може приймати будь-яке число рішень, причому ймовірності рішень при

-м випробуванні одержують певні значення, якщо відомо тільки результат -го випробування), причому всі приймають значення тільки 0 або 1. Він установлює, що ці випадкові величини також підлеглі закону більших чисел. Потрібно відзначити, що в роботі Марков вимагав, щоб для всіх ймовірностей переходу виконувалася умова . Але висновки Маркова залишаються справедливими, якщо замість такого сильного обмеження вимагати тільки, щоб ця умова виконувалася хоча б для однієї ймовірності при кожному .

Наприкінці своєї роботи Марков робить висновок, що незалежність величин не становить необхідної умови для існування закону більших чисел.

У цей час використовується умову, аналогічна умові Маркова, але вже не тільки достатнє, але й необхідне для застосовності закону більших чисел до послідовності довільних випадкових величин [4].

Теорема.

Для того щоб для послідовності

(як завгодно залежних) випадкових величин при будь-якому позитивному виконувалося співвідношення

, (3.4.1)

Необхідно й досить, щоб при

.(3.4.2)

Доказ.

Припустимо спочатку, що (2) виконано, і покажемо, що в цьому випадку виконано також (1). Позначимо через

функцію розподілу величини

.

Легко перевірити наступний ланцюжок співвідношень:

Ця нерівність доводить достатність умови теореми.

Покажемо тепер, що умова (2) необхідно. Легко бачити, що

Таким чином,

.

Вибираючи спочатку

як завгодно малим, а потім досить більшим, ми можемо зробити праву частину останньої нерівності як завгодно малої.

Що й було потрібно довести.

3.5 Посилення закону більших чисел. Поява необхідної й достатньої умов застосовності закону більших чисел

В 1923 р. А.Я. Хинчин установив закон повторного логарифма, що є своєрідним узагальненням і посиленням закону більших чисел[1]. Розглянемо отримані їм результати.

Відповідно до теореми Бернуллі, при

для будь-якого

В 1909 р. Борель для

довів, що , тобто що для більших із гнітючою ймовірністю повинна бути мала в порівнянні з , .

В 1917 р. Кантеллі поширив результат Бореля на кожне

.

В 1913 р. Хаусдорф для випадку Бернуллі знайшов наступну оцінку: з імовірністю одиниця

, де довільно.

В 1914 р. Харди й Литтльвуд показали, що з імовірністю одиниця

.

А в 1923 р. Хинчин довів наступну теорему.

Теорема.

Якщо ймовірність появи події A у кожному з

незалежних випробувань дорівнює , то число появ події A у випробуваннях при задовольняє співвідношенню:

.

Функція

в цьому змісті є точною верхньою границею випадкової величини .

Представимо цей результат геометрично. Будемо по осі абсцис відкладати

, а по осі ординат – . Проведемо в цій системі прямі: і . Теорема Бореля-Кантеллі затверджує, що при досить більших майже вірогідно, що буде полягати між прямими й . Але ці границі виявилися дуже широкі й Хинчин указав більше строгі границі зміни . Якщо ми проведемо криві

і (3.5.1)

, (3.5.1')

те по теоремі Хинчина, яке б не було

, для досить більших різниця майже вірогідно укладена між цими кривими. Якщо ж взяти криві

і (3.5.2) , (3.5.2')